【ベクトル】〈４〉内分点の定石問題

2024年7月31日 22:25

　ベクトルは、小学校からずっと習ってきた「数」とは、ちょっと異なる量です。方向が加わっているのが理由ですが、そのおかげで「図形」にも応用しやすく大変便利な道具です。
　「数」＋「図形」、つまり、長さや成分のような数量＝代数的な意味合いと、方向を持った矢印＝幾何的な意味合いが含まれているのがベクトルです。「方程式」の解説でも述べましたが、数学の面白さ、美しさを味わうことのできる分野ですので、順に、整理していきましょう。

〈例題１〉

　この形は、内分点に式に持っていく定石を用いた問題です。
「漸化式」のように、問題に対して解き方が決まっていて、実は答えも係数から推察できます。

[Method] 解答手順

① 基本となるベクトルを決める。　（AB→、AC→）
② 求めるベクトルをAP→と決める。
③ 減法等を利用して、すべて点AからAB→、AC→、AP→のみで表す。
④ 内分点の公式にあてはまるように調整・変形する。
⑤ 面積比は、大きい三角形から比率を考える。
⑤ 面積比は、小さい三角形から比率を考える。
⑤ 面積比は、与式から割り出す。

〈例題解答例１〉

①②は、解説済みですね。
③は、AB→、AC→、AP→のみというのが肝で、それ以外のベクトルは、減法用いて変形します。
④は、AP→＝　としたところで、

とはならないので、

を利用して、以下のように調整します。

分子の係数が、５と３なので、分母が８であれば内分点となります。そこで、12が分母なので、一旦、8/12 をかけることによって、分母を無理やり８にする変形を行います。この変形が肝です！

この変形によって、Dが線分ABの内分点、PがADの内分点であることが、一度に分かります。さらに、図のような比率も導くことができます。

〈解法２〉
　次に面積比ですが、解答例以外にも、小さい方から攻めていく解法もあります。最小の三角形、△BPD＝３ｓとおきます。
　△BPD：△CDP＝３ｓ：５ｓ
　△BPD：△ABP＝１：２＝３ｓ：６ｓ
　△CDP：△ACP＝１：２＝５ｓ：10ｓ
これより
　△PAB：△PBC：△PCA＝６ｓ：（３ｓ＋５ｓ）：10ｓ＝６：８：10
となります。

〈解法３〉
　実は、解答だけは、与式から求まるのです。
PA→の係数４は、ＡのＰに関して反対側の△PBCに対応し、
PB→の係数５は、ＢのＰに関して反対側の△PCAに対応し、
PC→の係数３は、ＣのＰに関して反対側の△PABに対応します。
つまり、
　△PAB：△PBC：△PCA＝３：４：５
となります。
　ベクトルが向かい合う三角形と吊り合っていくので、このような比率のなるのです。

〈問題２〉