【方程式】 〈８〉 関数の方程式

数学では、２次方程式、円の方程式、ベクトル方程式など、様々な「方程式」が登場しますよね。しかし、実は、違う意味合いの３種類が混在しているのです！
　最後は、関数を求める！という方程式です。つまり、答えは、f(x)= となる問題ですね。
　数学的には微分方程式が王道ですが、高校数学では、「積分を含む関数」が唯一かもしれません。きちんと整理・解説して、「そうだったのか！」「Methodを理解！」という領域まで到達しましょう。

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答えが、関数

等式を満たす関数を求める

　関数の中に関数がある？
　関数を求める？
　「積分を含む関数」では、今まであまり見たことのない式が書かれています。そこで、
　左辺の f(x) を外の関数
　右辺の定積分の中にある関数 f(t) を中の関数
と呼ぶことにしましょう。
　混乱の最大の原因は、 f(x) 、 f(t) で文字は違えど基本的に同じ関数であることです。関数の中に同じ関数があるので、無限ループになっているようにも見えますよね。

ここで、まず、定積分の結果について考えてみることにしましょう。
例えば、区間の決まった定積分では、

定積分

のように、数を代入して引くことになるので、結果は、定数（数字）になりますよね。ですから、中の関数 f(t) が含まれる部分は、定積分されるので、定数 k（普通の数字）と扱うことができます。この k が極めて重要で、解法のMethodそのものです。
①までは何とかできて、②の手順が浮かびにくです。「kを計算していく」と覚えるといいかもです。

［Method]  積分を含む関数

① 中の関数 f(t) について、定積分されている部分＝定数 k とおく
② k＝ からはじめて、k の方程式を作る

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〈例題１〉　中の関数が f(t) のみの場合

　右辺に含また定積分が、 f(t) のみの場合は、Methodの通りの解法です。まずは、この手法を完全にマスターにて、解放のリズムを掴みましょう。定数 k を求めていくのです。

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〈例題２〉　中の関数に、 f(t)、x が含まれている場合

　中の関数が t で積分されているので、x は、定積分の外に出すことができますよね。積分に関係する文字は 「dt」のところに記述されているので、微分よりは、ずいぶん見極めやすいです。冷静に文字を見て、例題３と区別できるようにしましょう。

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〈例題３〉　中の関数に、 f(t)、t が含まれている場合

　このパターンは、中の関数に t も含まれています。積分に関係する文字ですから、積分の結果に大きく影響しますから、定積分の結果は異なる定数になります。そこで、a と b の異なる文字の定数としておくことになります。
結果として、a と b の連立方程式を解くことになりますね。例題２と区別できるようにしましょう。

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〈例４〉

〈解答例４〉

〈例５〉

〈解答例５〉