【方程式】 〈２〉 ２次方程式

数学では、２次方程式、円の方程式、ベクトル方程式など、様々な「方程式」が登場しますよね。しかし、実は、違う意味合いの３種類が混在しているのです！
　高校数学のレベルで、きちんと整理・解説していきますので、「そうだったのか！」「Methodを理解！」という領域まで到達していきましょう。

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「方程式」は３種類

高校数学の範囲で学習する上程式は、大きく分けて３種類あります。
　1⃣　未知数を求める＝解く（２次方程式、３次方程式など）
　2⃣　図形を表す（直線の方程式、円の方程式、ベクトル方程式など）
　3⃣　関数を求める（積分を含んだ式、微分方程式など）

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1⃣ 解く　（ⅰ） ２次方程式

　一番一般的な形で、わからない文字 x の値を求めるのがこの種の方程式です。ただｘの次数によって、解法がぜんぜん違ってきます。数学の不思議ってこんなところにもあります。アーベル・ルフィニの定理は、５次以上の方程式には解の公式が存在しない、と主張しています。
　２次方程式は、方程式の次数と解の個数の関係、解と係数の関係、関数とのかかわりなど、様々な側面で、方程式の学習の基礎と言えるでしょう。
　まずは、「方程式を解く」ことからはじめ、解についても多面的に考えていくことにしましょう。

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[解法１]　因数分解

〈例題１〉

（数学的・学問的ではないけれど、）特に入試の側面から言って、因数分解を使った解法は、以下の３点で、優れた解法と言えるでしょう。
① 速度が速い
② 正確性が高い
③ ミスを見つけ易い

〈例題１・解答〉

〈例題２〉

展開してしまう人もいるんじゃないかな？
展開すると、速度が遅くなり、計算間違いの確率も上がります。
できるだけバラバラにしないように心がけましょう。

〈例題２・解答〉

なお、４次方程式の解法のうちで、複 2 次式（次数がすべて偶数の項のみからな る多項式）では、この因数分解に帰着します。

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[解法２]　解の公式

因数分解ができなければ、やむを得ず解の公式です。
(5) のように、ルートが係数にある場合は、ほぼ因数分解です。

〈例題３〉

〈例題３・解答〉

[Method]　方程式から片側変形式へ
もちろん、問題は、左辺＝右辺　の方程式の形をしています。
ところが、解の公式による変形に入った瞬間に、
x＝…＝… となって、片側変形式になります。分母を払うような計算はできないので、勘違いしないように注意しましょう。

ここにも“つまずき“ポイントがあるように感じています！

[Method]  解の公式とは　＝グラフとの連関

　解の公式は、中学校の最後に学習するので、習熟が進んでいない人もいるように思いますが、侮るなかれ、実は、解の公式は、２次関数と深い関連があるのです。
　簡単に触れておくと、以下の２次関数について、そのグラフは、

ｘ軸との交点との関連

解の公式を以下のように変形し、見方を変えてみると、

前半部分（-ｂ/2a）は、グラフの軸の位置を表している。後半部分（√～/2a）は、軸（-ｂ/2a）の値に足したり、引いたりするのだから、ｘ軸上で、軸からα、βへ、左右に開く距離を表している。
　詳しくは、解とグラフの関係を解説するシリーズで。

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〈練習１〉

〈解答例１〉