高校数学　高次方程式の話

2020年8月23日 16:59

　前回、2次方程式や虚数解とかの話をしましたが、さらなる次数の方程式でも同じようなことがいえる、また、きちんとした解法があるので、今回はその話をします。

　2次方程式で、解は重解がない限り次数と同じ個数の解があるわけです。前回の虚数解の話はこれを示唆しています。これは次数が大きくなってもほぼ変わりません。10次方程式は解が多くて10個あります。重解があればその分、解が減るのですが。

　さて、これで高次方程式の話に入れる、と思ったらそうでもなかった…。少し、剰余の定理の話をします。もしかすると虚数慣れよりも鬼門かもしれません。多項式を多項式で割ってその時どうなるか、ということです。割る方の多項式が1次式なら、それが0となるよう、変数に何か代入しておけば余りが出るということです。(例えばx-1で割るなら元の式にⅠを代入すると代入後の式が余りとなる)また、割る式が高次のとき、直接はきついですが、因数分解を用いることで余りの多項式を求められます。
　

　では、やっと本題。高次方程式の解は実数解から求めましょう。因数分解が一番早いです。3次以上の方程式はぱっと見不明瞭ですが、何か実数を代入するのがよいかなと思われます。また、虚数解があるときは、それと共役な複素数も解です。よいショートカットなので覚えておきましょう。

　ここで扱った複素数は数学Ⅲで再び扱います。そのとき、原点からの距離と角で表すようになるので、そこでまた発見があるかもしれません。本日はここまで。次回は[図形と方程式]です。