じゃんけん② ~手の種類を増やす~
はじめに
こんにちは。鶴の剣教信者の、chihiと申します。
前回の記事で「手が三種類」のじゃんけんについてあいこになる確率を求めました。
今回は手の種類を五種類にしてみます。
人数はもちろんN人で行います。
ルールを定義する
手の名前と強弱を決める
五種類ある手のそれぞれに名前を付けます。
今回は「0」、「1」、「2」、「3」、「4」という名前にします。
手の強弱は、
「0」は「1」と「2」に勝つ
「1」は「2」と「3」に勝つ
「2」は「3」と「4」に勝つ
「3」は「4」と「0」に勝つ
「4」は「0」と「1」に勝つ
ということにします。
![](https://assets.st-note.com/img/1709192805948-ymadHqbFBN.png)
「あいこ」とはどのようなときか
強弱が決まったので、次は勝ち負けを決めます。
「勝ち」とは出した手が「他のどの手より弱くない」かつ「他のどれかの手より強い」ということにします。
例えば「0」「1」「2」の3つの手が出たとき、「0」は「1」「2」より弱くなく、「1」より強いです。
このような条件を満たす手があるとき、勝負が決まります。
つまり、このような条件を満たさない「勝負が決まらない」手の出方が、「あいこ」です。
![](https://assets.st-note.com/img/1709194063852-KJxjRhLltW.png)
求める
勝負がつく組み合わせを挙げる
一人目は「0」を出すことにします。
勝負がつく組み合わせを全て求めます。
まず出された手が二種類のとき、このとき必ず勝負が付きます(どちらかは一方が片方より強いため)
次に出された手が三種類かつ連番のときです。
なぜ連番でなければならないのかというと、連番の初めの手が他の二種類の手より強くなるからです。ここで必ず「0」を出す人がいるので、考えるのは「3」「4」「0」、「4」「0」「1」、「0」「1」「2」の三通りで十分です。
実際に計算する
手が二種類のときを求めます。
つまり「0」ともう一種類が出ていればいいわけです。
N-1人ひとりひとりが出せる手は2種類であり、そこから全員が「0」を出す通りを引けばいいです。
よって$${{2^{N-1}}-1}$$通りです。これが四種類分あるので、四倍して$${4({{2^{N-1}}-1})={{2^{N+1}}-4}}$$です。
次に手が三種類のときを求めます。
N-1人ひとりひとりが出せる手は2種類であり、そこから手が二種類しか出ていない場合を引き、全員が「0」を出す通りを引けばいいです。
よって$${({{3^{N-1}}})-2 ({{2^{N-1}}}-1)-1={{3^{N-1}}}-{{2^{N}}}+1}$$ 、これが三種類あるので、$${{3({{{3^{N-1}}}-{{2^{N}}}+1})}}$$です。
これらを足して
$${({2^{N+1}}-4)+3({3^{N-1}}-{{2^{N}}}+1)={{3^{N}}}-{{2^{N}}}-1}$$
これを一人一人出すことが出来る手の積で割り
$${{{{3^{N}}}-{{2^{N}}}-1} \over {5^{N-1}}}$$
後はこれを1から引き、$${1 -{{{{3^{N}}}-{{2^{N}}}-1} \over {5^{N-1}}}}$$が答えであると求められました。
まとめ
今回は使いみちのわからない、「じゃんけんの手が五種類のとき、あいこになる確率」の公式(?)を求めました。
じゃんけんをするときに参考にしてみてください。
以上がじゃんけんであいこになる確率です。
ご清覧ありがとうございました。
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