さるぶつ道場 熱2解答

熱気球

　問題はこちらです．

　熱気球の空気は自由に出入りできるので，温度の変化にかかわらず，熱気球の気圧は一定に保たれている点に注目しましょう．(2)気圧が一定ならば，シャルルの法則を用いることができます．(3)，(4)ではそれぞれの小問で得られた結論を用います．前問でどんな答えを出したか，忘れないようにしましょう．

(1)

図

　気体の状態方程式より，熱気球内部の空気の物質量 $${n}$$ は，

$$
\begin{array}{}
P_0V&=&nRT_0\\
n&=&\frac{P_0V}{RT_0}\ \cdots　①
\end{array}
$$

　空気の密度 $${\rho}$$ は，

$${\rho=\frac{nm}{V}=\frac{P_0m}{RT_0}}$$

(2)

　図のように，温度が $${T_0}$$ から $${T_1}$$ に変化することに伴い，熱気球内部の空気が $${V}$$ から $${V+\Delta V}$$ に膨張したとすると，シャルルの法則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{V}{T_0}&=&\frac{V+\Delta V}{T_1}\\
V+\Delta V&=&\frac{T_1}{T_0}V\\
\Delta V&=&\left(\frac{T_1}{T_0}-1\right)V
\end{array}
$$

(3)

　温度 $${T_1}$$ での熱気球内部の空気の物質量 $${n_1}$$ は，①より，

$${n_1=\frac{P_0V}{RT_1}}$$

　密度 $${\rho_1}$$ は，

$$
\begin{array}{}
\rho_1&=&\frac{n_1m}{V}\\
&=&\frac{P_0m}{RT_1}\\
&=&\frac{T_0}{T_0}\cdot \frac{P_0m}{RT_1}\\
&=&\frac{T_0}{T_1}\rho
\end{array}
$$

途中，(1)の結果 $${\rho=\frac{P_0m}{RT_0}}$$ を用いた．

(4)

　熱気球にはたらく力のつりあいは，

$$
\begin{array}{}
\rho V g-(\rho_1 V+M)g&=&0\\
\rho V -\rho_1 V-M&=&0\\
\rho V-\frac{T_0}{T_1}\rho V-M&=&0\\
\frac{T_0}{T_1}\rho V&=&\rho V-M\\
\frac{T_0}{T_1}&=&1-\frac{M}{\rho V}\\
T_1&=&\frac{1}{1-\frac{M}{\rho V}}T_0
\end{array}
$$

　途中，(3)の結果 $${\rho_1=\frac{T_0}{T_1}\rho}$$ を用いた．