さるぶつ道場 万有引力1解答

無限遠方に飛び立つロケット

問題はこちらです．

　ケプラーの法則と宇宙速度，力学的エネルギー保存則を理解していれば，決して難しくはありません．それぞれの問で問われている量や，基本問題との関連を正確に把握するようにしましょう．⑤はケプラーの第3法則 $${\frac{T^2}{a^3}=const.}$$ に気付くと，簡単に解けます．

①

　質量 $${m}$$ の物体にはたらく重力は $${w=mg}$$ ．万有引力は f=G\frac{Mm}{R^2} である．$${w=f}$$ と見なせるので，

$$
\begin{array}{}
mg&=&G\frac{Mm}{R^2}\\
GM&=& gR^2
\end{array}
$$

②

　ケプラーの第2法則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}Rv_P&=&\frac{1}{2}\cdot 3Rv_Q\\
v_Q&=&\frac{1}{3}v_P
\end{array}
$$

③

　力学的エネルギー保存則より，②の結果を利用して，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_P^2-G\frac{Mm}{R}&=&\frac{1}{2}mv_Q^2-G\frac{Mm}{3R}\\
\frac{1}{2}v_P^2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}v_P\right)^2&=&\frac{GM}{R}-\frac{GM}{3R}\\
\frac{4}{9}v_P^2&=&\frac{2gR^2}{3R}\\
v_P^2&=&\frac{3}{2} gR\\
v_P&=&\sqrt{\frac{3}{2} gR}
\end{array}
$$

④

　ロケットは半径 $${3R}$$ の等速円運動をするので，等速円運動の運動方程式より，

$$
\begin{array}{}
m\frac{v_Q'^2}{3R}&=&G\frac{Mm}{(3R)^2}\\
v_Q'^2&=&\frac{GM}{3R}\\
v_Q'&=&\sqrt{\frac{1}{3} gR}
\end{array}
$$

⑤

　ケプラーの第3法則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{T^2}{(3R)^3}&=&\frac{T_0^2}{(R)^3}\\
\left(\frac{T}{T_0}\right)^2&=&\left(\frac{3R}{R}\right)^3\\
\frac{T}{T_0}&=&3\sqrt 3
\end{array}
$$

⑥

　加速した後の，Sでのロケットの力学的エネルギー は，

$${E_S=\frac{1}{2}mv_S^2-G\frac{Mm}{3R}}$$

　無限遠方でのロケットの速さを $${v}$$ とすると，無限遠方での力学的エネルギー $${E_{inf}}$$ は，

$${E_{inf}=\lim _{r\rightarrow \infty}\left( \frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}\right)=\frac{1}{2}mv^2\geq 0}$$

　力学的エネルギー保存則より，$${E_S=E_{infinity}\geq 0}$$ ．$${v_s}$$ が最小値をとるのは，$${E_S=0}$$ のときなので，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_S^2-G\frac{Mm}{3R}&=&0\\
v_S^2&=&\frac{2GM}{3R}\\
v_S&=&\sqrt{\frac{2}{3} gR}
\end{array}
$$