さるぶつ道場 コンデンサー2解答

コンデンサーとダイオードを含む回路での電荷の移動

　問題はこちらです．

　(1)は直列接続なので，$${C_1\ ,\ C_2}$$ の極板間の電圧は電気容量の逆比 $${C:2C=V_2:V_3}$$ になる．また，静電エネルギーを求めるときは，$${U=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}QV}$$ のどの式を用いれば簡単に求められるかを考える．なお，以降の問題では，$${C_1}$$ に蓄えられた電気量は移動しないので注意すること．(2)は並列接続なので，$${C_2\ ,\ C_3
}$$ の電圧が等しくなる．合成容量を求めてから，電気量を求めた方が楽．(3)，(4)はダイオードの特性に注目する．$${C_2\ ,\ C_3}$$ の上側の極板のどちら電位が高いか考える．電位を考えるときは，回路の一部をアースする（ $${0\rm V}$$ とする）と考えやすい．

(1)

　$${C:2C=V_2:V_3}$$ より $${V_1=2V_2}$$ ．また，$${V_1+V_2=V}$$  なので，

$$
\begin{array}{}
V_2+2V_2&=&V\\
V_2&=&\frac{1}{3}V\\
V_1&=&\frac{2}{3}V
\end{array}
$$

　直列接続なので，

$${Q_1=Q_2=\frac{2}{3}CV}$$

　静電エネルギーの公式 $${Q=\frac{1}{2}QV}$$ より，

$$
\begin{array}{}
U_1&=&\frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}CV\cdot \frac{2}{3}V=\frac{2}{9}CV^2\\
U_2&=&\frac{1}{2}Q_2V_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}CV\cdot \frac{1}{3}V=\frac{1}{9}CV^2\\
\end{array}
$$

(2)

図2

　図2のCを基準とすると，Aの電位はＢより高いので，ＡからＢに電流が流れる（電荷の移動が起こる）．したがって，$${C_2\ ,\ C_3}$$ は並列接続である．$${C_2\ ,\ C_3}$$ の電圧は等しく，合成容量は $${4C}$$ なので，

$$
\begin{array}{}
V_3&=&V_4=\frac{\frac{2}{3}CV}{4C}=\frac{1}{6}V\\
Q_3&=&Q_4=\frac{1}{3}CV
\end{array}
$$

(3)

　誘電体を挿入したときの $${C_2}$$ の電気容量は $${2\varepsilon C}$$ なので，$${C_2}$$ の電圧 $${V_5}$$ は，

$${V_5=\frac{\frac{2}{3}CV}{2\varepsilon C}=\frac{1}{6\varepsilon}V}$$

　 $${C_3}$$ の電圧 $${V_6}$$ は $${\frac{1}{3}V}$$ なので，Ｃを基準としたＡの電位はＢの電位よりも低く，ＢからＡへの電荷の移動は起こらない．したがって，

$${Q_3=Q_4=\frac{1}{3}CV}$$

(4)

　誘電体を挿入したときの $${C_3}$$ の電気容量は $${2\varepsilon C}$$ なので，$${C_3}$$ の電圧 $${V8}$$ は $${\frac{1}{3}V}$$ より低く，Ｃを基準としたＡの電位はＢの電位よりも高くなるので，AからBへ電流が流れる．したがって，$${C_2\ ,\ C_3}$$ は並列接続である．合成容量は $${2(1+\varepsilon)C}$$ なので，

$${V_7=V_8=\frac{\frac{2}{3}CV}{2(1+\varepsilon) C}=\frac{1}{3(1+\varepsilon)}V　}$$

　$${Q_7\ ,\ Q_8}$$ は，

$$
\begin{array}{}
Q_7&=&\frac{2}{3(1+\varepsilon)}CV\\
Q_8&=&\frac{2\varepsilon}{3(1+\varepsilon)}CV
\end{array}
$$