さるぶつ道場 コンデンサー1解答

コンデンサーの極板間の電位を表すグラフ

　問題はこちらです．

　ガウスの法則に基づいて，電場や電位差を求めます．電気力線の定義「電場が $${E}$$ のところでは，単位面積あたり $${E}$$ 本の電気力線が引けるものとする．」と，コンデンサーの極板間の電場は一様であると見なせるので，$${V=Ed}$$ が成り立つことを思い出しましょう．また，金属内部の電場は0で等電位であることや，誘電体内部では電場が小さくなることも，知識としてもっておくと解きやすくなります．

(1)

　ガウスの法則より，極板間の電気力線の数 $${N_1=\frac{Q}{\varepsilon_0}}$$ なので，

$$
\begin{array}{}
E_1&=&\frac{N_1}{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0S}\\
V_1&=&E_1d=\frac{Q}{\varepsilon_0S}d
\end{array}
$$

(2)

　金属内部の電場は0である．また，(1)の結果を利用すると，

$$
\begin{array}{}
E_2&=&\frac{Q}{\varepsilon_0S}\\
E_3&=&0\\
V_2&=&\frac{Q}{\varepsilon_0S}(d-a)
\end{array}
$$

(3)

　(2)の $${V_2}$$ より，

$$
\begin{array}{}
V_2&=&\frac{Q}{\varepsilon_0S}(d-a)\\
Q&=&\frac{\varepsilon_0S}{d-a}V_2\\
\end{array}
$$

と表されるので，$${Q=C_1V_2}$$ より，

$${C_2=\frac{\varepsilon_0S}{d-a}}$$

(4)

　(2)より，図5のようなグラフが書けるので⑨

図5

(5)

　ガウスの法則より，誘電体内部の電気力線の数 $${N_2=\frac{Q}{\varepsilon _r\varepsilon _0}}$$ なので，$${E_4}$$ は，

$$
\begin{array}{}
E_4&=&\frac{N_2}{S}\\
&=&\frac{Q}{\varepsilon _r\varepsilon _0S}
\end{array}
$$

　$${V_3}$$ は，

$$
\begin{array}{}
V_3&=&E_1(d-a)+E_4a\\
&=&\frac{Q}{\varepsilon _0S}(d-a)+\frac{Q}{\varepsilon _r\varepsilon _0S}a\\
&=&\frac{Q}{\varepsilon _0S}\left\{d-a+\frac{1}{\varepsilon_r}a\right\}\\
&=&\frac{Q}{\varepsilon _0S}\left\{d-\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)a\right\}
\end{array}
$$

(6)

　(5)の $${V_3}$$ より，

$$
\begin{array}{}
V_3&=&\frac{Q}{\varepsilon _0S}\left\{d-\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)a\right\}\\
Q&=&\frac{\varepsilon _0S}{d-\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)a}V_3
\end{array}
$$

と表されるので，$${Q=C_2V_3} より，

$${C_2=\frac{\varepsilon _0S}{d-\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)a}}$$

(7)

　(5)の $${V_3}$$ より，図6のようなグラフが書けるので③

図6