さるぶつ道場 円運動3解答

ジェットコースターの運動

　問題はこちらです．

　面から受ける垂直抗力 $${N}$$ と，重力の半径方向の成分 $${W\cos\theta}$$ の和 $${F=N-W\cos \theta
}$$ が向心力です．円形ループを落ちることなく通過するための条件は，図の最高点Dで $${N \geq 0}$$ であることに注目しましょう．

図

(1) 力学的エネルギー保存則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_0^2&=&mgh\\
v_0&=&\sqrt{2gh}
\end{array}
$$

(2) 点Cでのジェットコースターの速さを $${v_C}$$ とすると，力学的エネルギー保存則より，

$$
\begin{array}{}
mgh&=&\frac{1}{2}mv_C^2+mgr(1-\cos\theta)\\
v_C^2&=&2 g\left\{h-r(1-\cos\theta)\right\}
\end{array}
$$

　点Cでのジェットコースターの運動方程式より，

$$
\begin{array}{}
m\frac{v_C^2}{r}&=&N-W\cos\theta\\
N&=&m\frac{v_C^2}{r}+W\cos\theta\\
&=&m\frac{2 g\left\{h-r(1-\cos\theta)\right\}}{r}+m g\cos\theta\\
&=&\left\{\frac{2h}{r}-2(1-\cos\theta)+\cos\theta\right\}m g\\
&=&\left\{\frac{2h}{r}-(2-3\cos\theta)\right\}m g\\
\end{array}
$$

(3)ジェットコースターが落下しないためには，円形ループ最上部（点D，$${\theta=\pi}$$ ）で $${N\geq 0}$$ であればよい．

$$
\begin{array}{}
N=\left\{\frac{2h}{r}-(2-3\cos\pi)\right\}m g&\geq &0\\
\frac{2h}{r}&\geq &5\\
h&\geq &\frac{5}{2}
\end{array}
$$

　よくわからない人は，下の動画も参考にしてください．