さるぶつ道場 運動量保存則1解答

ロケットの加速

　問題はこちらです．

　この問題では，ロケットとガスの間の内力（作用と反作用の力）しかはたらかないので，運動量保存則が成り立ちます．ガスの速さはロケットに対する速さ（相対速度）なので注意しましょう．

図1

　図1のように，空間に固定された観測者から見たガスの速度を速さ $${u_0}$$ ，向きをロケットと同じ向きとすると，ロケットから見たガスの速さ $${u}$$ は，

$${u=u_0-v_1}$$

と表されるので，

$${u_0=u+v_1}$$

である．

　したがって，1回目のガスを噴出する前後での運動量保存則は，

$${Mv_0=(M-m)v_1+mu_0}$$

と表されるので，$${u_0=u+v_1}$$ より $${v_1}$$ は，

$${Mv_0=(M-m)v_1+m(u+v_1)}$$
$${v_1=v_0+\frac{m}{M}u}$$

　同様に，2回目の噴出を行ったとき，$${u=u_0-v_2}$$ より，

$${(M-m)v_1=(M-2m)v_2+m(u+v_2)}$$
$${v_2=v_1+\frac{m}{M-m}u}$$

　3回目の噴出を行ったとき，$${u=u_0-v_3}$$ より，

$${(M-2m)v_2=(M-3m)v_3+m(u+v_3)}$$
$${v_3=v_2+\frac{m}{M-2m}u}$$

　したがって，ガスの噴出を $${n}$$ 回行ったときのロケットの速さ $${v_n}$$ は，

$${v_n=v_{n-1}+\frac{m}{M-(n-1)m}u}$$

　詳しい説明はテキストを参考にしてください．