さるぶつ道場 斜方投射2解答

斜面内での斜方投射

　問題はこちらです．

　斜面内の斜方投射なので，斜面に沿った方向（ $${y}$$ 軸方向）には力がはたらきますが，水平成分（ $${x}$$ 軸方向）は等速直線運動です．まず重力の斜面に沿った成分を考えるようにしましょう．その後は普通の斜方投射の問題と同じです．ただし，$${\theta}$$ と $${\phi}$$ を混同しないようにしましょう．また，問題文から条件を正確に読み取るようにしましょう．

図3

　図3のように力は分解できるので，小球にはたらく $${x}$$ 軸方向の力は0，$${y}$$ 軸方向の力は $${-mg\sin\theta}$$ である．$${y}$$ 軸方向の運動方程式は，

　$${ma_y=-mg\sin\theta}$$

　したがって物体は， $${x}$$ 軸方向には初速度 $${v\cos\phi}$$ で等速直線運動，$${y}$$ 軸方向には初速度 $${v\sin\phi}$$ ，加速度 $${-g\sin\theta}$$ の等加速度直線運動をする．
　小球を投げ出した時刻を0として，時刻 $${t}$$ での位置を表す式は，

　$${x=v\cos \phi \cdot t}$$
　$${y=v\sin \phi\cdot t-\frac{1}{2}g\sin \theta \cdot t^2}$$

　①式より，小球が $${x=L_2}$$ に到達する時刻 $${t_0}$$ は，

　$${t_0=\frac{L_2}{v\cos\phi}}$$

　$${t=t_0}$$ のとき $${y=0}$$ なので，$${t_0}$$ を②式に代入して，

　$${0=v\sin \phi\cdot \frac{L_2}{v\cos \phi}-\frac{1}{2}g\sin \theta \cdot \left ( \frac{L_2}{v\cos \phi} \right ) ^2}$$
　$${v=\sqrt{\frac{gL_2\sin \theta }{\sin 2\phi}}}$$

　小球がピンを越えるためには，小球が $${x=L_1}$$ に到達する時刻 $${t_1=\frac{L_1}{v\cos\phi}}$$ のとき，$${y>H}$$ でなければならない．
　$${t_1}$$ ，及び $${v}$$ を②式に代入して，

　$${H}$$<$${v \sin \phi\cdot \frac{L_1}{v\cos \phi}-\frac{1}{2}g\sin \theta \cdot \left ( \frac{L_1}{v\cos \phi} \right ) ^2}$$
　$${H}$$<$${L_1\tan \phi -\frac{gL_1^2 \sin \theta}{2 v^2 \cos ^2 \phi}}$$

　$${v=\sqrt{\frac{gL_2\sin \theta }{\sin 2\phi}}}$$ を代入して，

　$${H}$$<$${L_1\tan \phi -\frac{gL_1^2 \sin \theta}{2 \left(\sqrt{\frac{{\text g}L_2\sin \theta }{\sin 2\phi}}\right)^2 \cos ^2 \phi} }$$
　$${H}$$<$${L_1\tan \phi -\frac{{\text g}L_1^2 \sin \theta \sin 2\phi}{2 {\text g}L_2\sin \theta \cos ^2 \phi} }$$
　$${H}$$<$${L_1\tan \phi -\frac{L_1^2 \tan \phi}{ L_2}}$$
　$${H}$$<$${\left(\frac{L_1L_2 -L_1^2}{ L_2}\right) \tan \phi}$$
　$${\tan \phi}$$>$${\frac{ L_2H}{L_1(L_2 -L_1)}}$$