さるぶつ牧場 円運動6解答

物体が鉛直面内を円運動するための初速の条件

　問題はこちらです．

　剛体棒とは異なり，糸の場合は張力 $${T}$$ が $${T<0}$$ のときにたるんでしまうので，注意が必要です．力学的エネルギー保存則に加えて，円運動の運動方程式により，張力が $${T<0}$$ とならない条件も考えましょう．

(1)

　点Bでの小球の速さを $${v_B}$$ とすると，剛体棒に取り付けられた小球が点Bを通過するための条件は， $${v_B>0}$$ である．

　力学的エネルギー保存則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_1^2&=&\frac{1}{2}mv_B^2+2mgl\\
\frac{1}{2}mv_B^2&=&\frac{1}{2}mv_1^2-2m gl>0\\
\frac{1}{2}mv_1^2&>&2mgl\\
v_1&>&2\sqrt{ gl}
\end{array}
$$

(2)

　点Cでの小球の速さ $${v_C}$$ は，力学的エネルギー保存則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_2^2&=&\frac{1}{2}mv_c^2+m gl(1-\cos \theta)\\
v_C^2&=&v_2^2-2gl(1-\cos \theta)\ \cdots ①
\end{array}
$$

図

　図より，円周上を運動する物体の点Cでの半径に沿った方向(動径方向)の運動方程式は，

$$
\begin{array}{}
m\frac{v_C^2}{l}&=&T-m g\cos\theta \\
T&=&m\frac{v_C^2}{l}+m g\cos\theta
\end{array}
$$

　①を $${v_C^2}$$ に代入して，

$$
\begin{array}{}
T&=&m\frac{v_2^2-2 gl(1-\cos \theta)}{l}+mg\cos\theta \\
&=&m\frac{v_2^2}{l}-2mg(1-\cos \theta)+m g\cos\theta \\
&=&m\frac{v_2^2}{l}-mg(2-3\cos \theta)\ \cdots ②
\end{array}
$$

(3)

　点B（ $${\theta =\pi}$$ ）で円周上を運動するときの条件は $${T \geq 0}$$ である．②を利用して，

$$
\begin{array}{}
T=m\frac{v_2^2}{l}-mg\left\{2-3\cdot(-1)\right\}&\geq & 0\\
m\frac{v_2^2}{l}&\geq &5mg\\
v_2^2&\geq &5 gl\\
v_2&\geq &\sqrt{5gl}
\end{array}
$$

　詳しい説明はこちらのブログか，下の動画を参考にしてください．