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さるぶつ牧場 円運動6解答
物体が鉛直面内を円運動するための初速の条件
問題はこちらです.
剛体棒とは異なり,糸の場合は張力 $${T}$$ が $${T<0}$$ のときにたるんでしまうので,注意が必要です.力学的エネルギー保存則に加えて,円運動の運動方程式により,張力が $${T<0}$$ とならない条件も考えましょう.
(1)
点Bでの小球の速さを $${v_B}$$ とすると,剛体棒に取り付けられた小球が点Bを通過するための条件は, $${v_B>0}$$ である.
力学的エネルギー保存則より,
$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_1^2&=&\frac{1}{2}mv_B^2+2mgl\\
\frac{1}{2}mv_B^2&=&\frac{1}{2}mv_1^2-2m gl>0\\
\frac{1}{2}mv_1^2&>&2mgl\\
v_1&>&2\sqrt{ gl}
\end{array}
$$
(2)
点Cでの小球の速さ $${v_C}$$ は,力学的エネルギー保存則より,
$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_2^2&=&\frac{1}{2}mv_c^2+m gl(1-\cos \theta)\\
v_C^2&=&v_2^2-2gl(1-\cos \theta)\ \cdots ①
\end{array}
$$
![](https://assets.st-note.com/img/1675833170900-ds7Sa8tAbX.jpg)
図より,円周上を運動する物体の点Cでの半径に沿った方向(動径方向)の運動方程式は,
$$
\begin{array}{}
m\frac{v_C^2}{l}&=&T-m g\cos\theta \\
T&=&m\frac{v_C^2}{l}+m g\cos\theta
\end{array}
$$
①を $${v_C^2}$$ に代入して,
$$
\begin{array}{}
T&=&m\frac{v_2^2-2 gl(1-\cos \theta)}{l}+mg\cos\theta \\
&=&m\frac{v_2^2}{l}-2mg(1-\cos \theta)+m g\cos\theta \\
&=&m\frac{v_2^2}{l}-mg(2-3\cos \theta)\ \cdots ②
\end{array}
$$
(3)
点B( $${\theta =\pi}$$ )で円周上を運動するときの条件は $${T \geq 0}$$ である.②を利用して,
$$
\begin{array}{}
T=m\frac{v_2^2}{l}-mg\left\{2-3\cdot(-1)\right\}&\geq & 0\\
m\frac{v_2^2}{l}&\geq &5mg\\
v_2^2&\geq &5 gl\\
v_2&\geq &\sqrt{5gl}
\end{array}
$$
詳しい説明はこちらのブログか,下の動画を参考にしてください.
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