さるぶつ牧場 熱5

立方体容器に封入された気体分子の運動

　図１のような，一辺の長さが $${L}$$ の立方体の容器に，質量 $${m}$$ の気体分子 $${N}$$ 個が封入されている．気体は単原子分子理想気体で，分子は容器の内壁と弾性衝突し，分子同士の衝突はないものとする．また，分子にはたらく重力の影響は小さく，分子はどの方向に一様に運動するものとする．

図１

　速度が $${{\boldsymbol v}=(v_x,v_y,v_z)}$$ と成分表示される分子aが，$${x}$$ 軸に垂直な壁Sと衝突したとき，衝突後の分子aの速度 $${{\boldsymbol v}'}$$ を成分表示すると $${{\boldsymbol v}'=}$$  (①)である．分子aが１回の衝突で壁Sに与える力積の大きさ $${I}$$ は(②)である．分子aは壁Sに衝突した後，再び壁Ｓに衝突するまでの時間 $${T_0}$$ は（③）なので，壁Ｓが分子aから受ける単位時間あたりの力 $${f}$$ は（④）である．
　$${N}$$ 個の分子の２乗平均速度を $${{\boldsymbol v}^2}$$ ，速度の $${x}$$ 成分 $${v_x}$$ の２乗の平均を $${\overline{v_x^2}}$$ とすると，$${\overline{v_x^2}}$$ = (⑤) $${{\boldsymbol v}^2}$$ である．
　$${N}$$ 個の分子が壁Ｓに及ぼす力の和 $${F}$$ は，$${m}$$ ，$${N}$$ ，$${L}$$ ，$${\overline {v^2}}$$ を用いて（⑥）と表されるので，壁Ｓが受ける圧力 $${p}$$ は，$${m}$$ ，$${N}$$ ，$${L}$$ ，$${\overline {v^2}}$$ を用いて（⑦）となる．
　気体の内部エネルギーは分子の運動エネルギーの和で表されるので，容器内の気体の内部エネルギー $${U}$$ は $${p}$$ ，$${L}$$ を用いて（⑧）と表される．アボガドロ数を $${N_A}$$ ，気体定数を $${R}$$ ，容器内部の気体の温度を $${T}$$ とすると，分子１個の平均運動エネルギー $${K}$$ は， $${N_A}$$ ，$${R}$$ ，$${T}$$ を用いて(⑨）となる．

　解答はこちらです．