さるぶつ道場 剛体にはたらく力のつりあい3解答

鉛直面内で静止する物体2：コの字型

　問題はこちらです．

　点Oを釘に掛けて，鉛直面内でなめらかに回転できるようにしているので，点Oの位置から見た重心の位置は，鉛直線上の真下です．したがって，図１のように重心の位置を求めれば，自然と角度 $${\theta}$$ は求まります．重心には全ての質量が集まっていると考えて，平面の問題を１次元上の問題として考える練習をしましょう．
　力のモーメントを計算したい人は別解のように考えてください．力のモーメントは，回転軸から作用点までの距離（位置ベクトル）と力の積（外積）です．図２のように，平行四辺形を長方形として計算できるようになると，随分簡単に考えることができます．それぞれの力が回転軸から見て，どちら向きに回転させる力かを判断しましょう．

図1

　一様な針金なので，図1のように各辺の重心はそれぞれの辺の中点a，ｂ，cである．辺OAと辺BCの２辺の重心は点 a , cの中点 d である．１辺の質量を $${m}$$ とすると，点 d には $${2m}$$ の質量があることになるので，全体の重心は線分 bc を点 b 側から 2:1 に内分する点 G である．線分 OG は鉛直線上にあるので，各辺の長さを $${l}$$ とすると $${\overline {Ob}=\frac{1}{2}l}$$ ，$${\overline{\mbox{bG}}=\frac{1}{2}l\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}l}$$ より，

$${\tan \theta =\frac{\frac{1}{2}l}{\frac{1}{3}l}=\frac{3}{2}}$$

別解

図２

　１辺の長さを $${l}$$ ，各辺の質量を $${m}$$ として，点Oのまわりの力のモーメントのつりあいを考えると，

$${m{\text g}\cdot \frac{1}{2}l\sin \theta-m{\text g}\cdot \frac{1}{2}l \cos \theta -m{\text g}\left(l\cos \theta -\frac{1}{2}l \sin \theta \right)=0}$$
$${\sin \theta- \cos \theta -2\cos \theta +\sin \theta =0}$$
$${2\sin\theta=3\cos \theta}$$
$${\tan \theta &=\frac{3}{2}}$$

　重心については，こちらのブログを参考にしてください．また，力のモーメントについては，こちらのブログを参考にしてください．