さるぶつ牧場 単振動5解答

単振り子の周期

　問題はこちらです．

　単振動をする物体の運動方程式は，必ず $${ma=-Kx}$$ と表されます．どの力（力の成分）が復元力になるのかを，図を書いて考えましょう．途中で弧度法の知識が必要です．弧度法はこちらのテキストを参考にしてください．また，$${\theta}$$ が0に近いときの近似式はよく用いられます．近似式の使い方にも慣れましょう．

図2

　図2のように，物体は円弧に沿った $${x}$$ 軸上で単振動すると考える．このとき復元力 $${F_x}$$ は，重力の円弧の接線方向の成分である．

$${F_x=-mg\sin \theta}$$

　近似式を用いると，

$$
\begin{array}{}
F_x&=&-mg\sin \theta\\
&\approx & -mg\theta\\
&=&-m g\frac{x}{l}
\end{array}
$$

　単振り子の場合，$${K=\frac{mg}{l}}$$である．

　運動方程式より，角振動数 $${\omega}$$ は，

$$
\begin{array}{}
-m\omega^2 x&=&-\frac{m g}{l}x\\
\omega&=&\sqrt \frac{ g}{l}
\end{array}
$$　

　$${T=\frac{2\pi}{\omega}}$$ より，

$${T=2\pi\sqrt{\frac{l}{ g}}}$$

　単振り子の周期は，糸の長さと重力加速度の大きさで決まる．

　詳しい説明はこちらのブログか，下の動画を参考にしてください．なお，ブログ中のテキストでは，別解も紹介しています．