"General theory of relativity"(Dirac)を読む13

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Diracの一般相対論を読む｜云南きのこ老師｜note

Chapter13は"The Bianci relations"。ビアンキ恒等式について取り扱う。

テンソルが2つのベクトル$${A_{\mu},B_{\tau}}$$の積で表される場合を考える。このとき、2階の共変微分は以下の様になる。

$$
\begin{aligned}
\left(A_\mu B_\tau\right)_{: \rho: \sigma} & =\left(A_{\mu: \rho} B_\tau+A_\mu B_{\tau: \rho}\right)_{: \sigma} \\
& =A_{\mu: \rho: \sigma} B_\tau+A_{\mu: \rho} B_{\tau: \sigma}+A_{\mu: \sigma} B_{\tau: \rho}+A_\mu B_{\tau: \rho: \sigma}
\end{aligned}
$$

$${\rho,\sigma}$$を交換した場合を考えると、

$$
\begin{aligned}
\left(A_\mu B_\tau\right)_{: \sigma: \rho} & =\left(A_{\mu: \sigma} B_\tau+A_\mu B_{\tau: \sigma}\right)_{: \rho} \\
& =A_{\mu: \sigma: \rho} B_\tau+A_{\mu: \sigma} B_{\tau: \rho}+A_{\mu: \rho} B_{\tau: \sigma}+A_\mu B_{\tau: \sigma: \rho}
\end{aligned}
$$

この2つを引き算すると、

$$
\begin{aligned}
\left(A_\mu B_\tau\right)_{: \rho: \sigma}-\left(A_\mu B_\tau\right)_{: \sigma: \rho}&=\left(A_{\mu:\rho:\sigma}-A_{\mu:\sigma:\rho}\right) B_{\tau}+A_{\mu}\left(B_{\tau:\rho:\sigma}-B_{\tau:\sigma:\rho}\right)\\
&=A_\alpha R_{\mu \rho \sigma}^\alpha B_\tau+A_\mu R_{\tau \rho \sigma}^\alpha B_\alpha
\end{aligned}
$$

最後の等号では式（11.2）を使った。これはつまり一般的なテンソル$${T_{\mu\tau}}$$は

$$
T_{\mu \tau: \rho: \sigma}-T_{\mu \tau: \sigma: \rho}=T_{\alpha \tau} R_{\mu \rho \sigma}^\alpha+T_{\mu \alpha} R_{\tau \rho \sigma}^\alpha\tag{13.1}
$$

を満たす事を意味する。

$${T_{\mu\tau}}$$が、あるベクトル$${A_{\mu:\tau}}$$の二階の共変微分だとすると、

$$
A_{\mu: \tau: \rho: \sigma}-A_{\mu: \tau: \sigma: \rho}=A_{\alpha: \tau} R_{\mu \rho \sigma}^\alpha+A_{\mu: \alpha} R_{\tau \rho \sigma}^\alpha
$$

を得る。

$${\tau,\rho,\sigma}$$を円循環させて足し合わせると、左辺は

$$
\begin{aligned}
A_{\mu: \rho: \sigma:\tau}-A_{\mu:\sigma: \rho:\tau}+\text{(cyc perm)} 
&=\left(A_\alpha R_{\mu \rho \sigma}^\alpha\right)_{: \tau}+\text{(cyc perm)}\\
&=A_{\alpha: \tau} R_{\mu \rho \sigma}^\alpha+A_\alpha R_{\mu \rho \sigma: \tau}^\alpha+\text{cyc perm}\tag{13.2}
\end{aligned}
$$

となる。１番めの等号では（11.2）を使った。

$${\tau,\rho,\sigma}$$を円循環させて足し合わせたとき右辺は、

$$
\begin{aligned}
&A_{\alpha: \tau} R_{\mu \rho \sigma}^\alpha+A_{\alpha: \rho} R_{\mu \sigma\tau}^\alpha+A_{\alpha: \sigma} R_{\mu \tau\rho}^\alpha+A_{\mu: \alpha} (R_{\tau \rho \sigma}^\alpha+R_{\rho\sigma\tau}^\alpha+R_{\sigma\tau\rho}^\alpha)\\
&=A_{\alpha: \tau} R_{\mu \rho \sigma}^\alpha+\text{cyc perm}
\end{aligned}\tag{13.3}
$$

式（11.5）より、$${R_{\tau \rho \sigma}^\alpha+R_{\rho\sigma\tau}^\alpha+R_{\sigma\tau\rho}^\alpha=0}$$である。

ここで、式（13.2）と式（13.3）を比較すると、

$$
A_\alpha R_{\mu \rho \sigma: \tau}^\alpha+\text { cyc perm }=0
$$

である。これが任意の$${A_{\alpha}}$$に対して成り立つので、

$$
R_{\mu \rho \sigma: \tau}^\alpha+R_{\mu \sigma \tau: \rho}^\alpha+R_{\mu \tau \rho: \sigma}^\alpha=0\tag{13.4}
$$

を得る。曲率テンソルが満たすこの微分方程式はビアンキ恒等式として知られている。