"General theory of relativity"(Dirac)を読む11

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Diracの一般相対論を読む｜云南きのこ老師｜note

前回は、曲がった時空での微分である共変微分を導入した。chapter 11は"The curvature tensor"という見出しである。

そもそも、何故、共変微分を考える必要があるかというと、時空の歪みを考慮する必要があったわけだからだが、そもそも時空の歪みをどうやって定量的に表すか？それを今回見ていく。

2つの量の積の共変微分に対して、式（10.8）が成り立つのを見ると、常微分と共変微分はとても良く似ている。しかし、常微分では微分の順序を替えても問題が無いとい重要な性質があった。しかし、共変微分では一般的にはこの関係は成り立たない。

最初にあるスカラー場$${S}$$を考え、その二階微分を考える。

スカラー場の1階微分は共変ベクトルであること、スカラー場の共変微分は式（10.5）より$${S_{:\alpha}=S_{,\alpha}}$$となることに気をつけると、式（10.1）より、

$$
\begin{aligned}
S_{: \mu: \nu} &=S_{: \mu, \nu}-\Gamma_{\mu \nu}^\alpha S_{: \alpha} \
&=S_{, \mu \nu}-\Gamma_{\mu \nu}^\alpha S_{, \alpha} 
\end{aligned}\tag{11.1}
$$

となる。この式は$${\mu,\nu}$$に対して対称性が共変微分の順序は問題にならない。

次に、共変ベクトル$${A_{\nu}}$$の共変微分を考える。$${A_{\nu:\rho}}$$を2階のテンソル$${T_{\nu\rho}}$$に見立てると、式（10.3）のテンソルの共変微分を適用して、

$$
\begin{aligned}
A_{\nu: \rho: \sigma}=& A_{\nu: \rho, \sigma}-\Gamma_{\nu \sigma}^\alpha A_{\alpha: \rho}-\Gamma_{\rho \sigma}^\alpha A_{v: \alpha} \\
=&\left(A_{\nu, \rho}-\Gamma_{\nu \rho}^\alpha A_\alpha\right)_{, \sigma}-\Gamma_{\nu \sigma}^\alpha\left(A_{\alpha, \rho}-\Gamma_{\alpha \rho}^\beta A_\beta\right)-\Gamma_{\rho \sigma}^\alpha\left(A_{\nu, \alpha}-\Gamma_{\nu \alpha}^\beta A_\beta\right) \\
=& A_{\nu, \rho, \sigma}- \Gamma^{\alpha}_{\nu\rho,\sigma}A_{\alpha} -\Gamma_{\nu \rho}^\alpha A_{\alpha, \sigma} -\Gamma_{\nu \sigma}^\alpha A_{\alpha, \rho}+\Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}\Gamma^{\beta}_{\alpha\rho}A_{\beta}-\Gamma_{\rho \sigma}^\alpha A_{\nu, \alpha} +\Gamma^{\alpha}_{\rho\sigma}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}A_{\beta}\\
=& A_{\nu, \rho, \sigma}-\Gamma_{\nu \rho}^\alpha A_{\alpha, \sigma}-\Gamma_{\rho \sigma}^\alpha A_{\nu, \alpha}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}A_{\alpha,\rho}\\
&-A_\beta\left(\Gamma_{\nu\rho, \sigma}^\beta-\Gamma_{\nu \sigma}^\alpha \Gamma_{\alpha \rho}^\beta-\Gamma_{\rho \sigma}^\alpha \Gamma_{\nu \alpha}^\beta\right) .
\end{aligned}
$$

と計算できる。ここで、第三等号から第四等号に行く時、$${\Gamma_{\nu \rho}^\alpha A_{\alpha, \sigma}}$$を$${\Gamma_{\nu \rho}^\beta A_{\beta, \sigma}}$$として、ダミーの添字を$${\alpha}$$から$${\beta}$$に変更した。

次に微分の順序を変更するため、$${\rho}$$と$${\sigma}$$を変更すると、

$$
\begin{aligned}
A_{\nu: \sigma: \rho}= A_{\nu, \sigma, \rho}-\Gamma_{\nu \sigma}^\alpha A_{\alpha, \rho}-\Gamma_{\sigma \rho}^\alpha A_{\nu, \alpha}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}A_{\alpha,\sigma}-A_\beta\left(\Gamma_{\nu\sigma, \rho}^\beta-\Gamma_{\nu \rho}^\alpha \Gamma_{\alpha \sigma}^\beta-\Gamma_{\sigma \rho}^\alpha \Gamma_{\nu \alpha}^\beta\right) .
\end{aligned}
$$

この2つの差を取ると、

$$
A_{\nu: \rho: \sigma}-A_{\nu: \sigma: \rho}=A_\beta R_{\nu \rho \sigma}^\beta\tag{11.2}
$$

となる。ただし、

$$
R_{\nu \rho \sigma}^\beta=\Gamma_{\nu \sigma, \rho}^\beta-\Gamma_{\nu \rho, \sigma}^\beta+\Gamma_{v \sigma}^\alpha \Gamma_{\alpha \rho}^\beta-\Gamma_{\nu \rho}^\alpha \Gamma_{\alpha \sigma}^\beta .\tag{11.3}
$$

ここで、式（11.2）の左辺はテンソルであり、任意の$${A_{\beta}}$$に対して右辺がテンソルになるためにはchapter 4の商定理より、$${R^{\beta}_{\nu\rho\sigma}}$$もテンソルにならなければならない。$${R^{\beta}_{\nu\rho\sigma}}$$をRiemann-Chirstoffelテンソルという。

式（11.3）で$${\rho,\sigma}$$を入れ替えると、次の式が成り立つのは明らかである。

$$
R_{\nu \rho \sigma}^\beta=-R_{\nu \sigma \rho}^\beta\tag{11.4}
$$

また、$${\nu,\rho,\sigma}$$を循環させると、次の関係が成り立つのも分かる。

$$
R_{\nu \rho \sigma}^\beta+R_{\rho \sigma \nu}^\beta+R_{\sigma \nu \rho}^\beta=0 .\tag{11.5}
$$

また、添字$${\beta}$$を計量テンソルを使って下げると、次の形になる。

$$
R_{\mu \nu \rho \sigma}=g_{\mu \beta} R_{\nu \rho \sigma}^\beta=g_{\mu \beta} \Gamma_{\nu \sigma, \rho}^\beta+\Gamma_{\nu \sigma}^\alpha \Gamma_{\mu \alpha \rho}-\langle\rho \sigma\rangle,
$$

$${\langle\rho \sigma\rangle}$$は前の二項で$${\rho}$$と$${\sigma}$$を交換したのを表す。

ここで、$${(g_{\mu\beta}\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma})_{,\rho}=g_{\mu\beta,\rho}\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma}+g_{\mu \beta} \Gamma_{\nu \sigma, \rho}^\beta}$$をであることに注意して、上の式の第二項でダミーの添字を$${\alpha \rightarrow\beta}$$とすると、

$$
R_{\mu \nu \rho \sigma}=\Gamma_{\mu \nu \sigma, \rho}-g_{\mu \beta, \rho} \Gamma_{\nu \sigma}^\beta+\Gamma_{\mu \beta \rho} \Gamma_{\nu \sigma}^\beta-\langle\rho \sigma\rangle
$$

となる。さらに式（7.6）より、

$$
g_{\mu\beta,\rho}=\Gamma_{\mu\beta\rho} +\Gamma_{\beta\mu\rho}
$$

であるので、

$$
\begin{aligned}
R_{\mu \nu \rho \sigma}&=\Gamma_{\mu \nu \sigma, \rho}-g_{\mu \beta, \rho} \Gamma_{\nu \sigma}^\beta+\Gamma_{\mu \beta \rho} \Gamma_{\nu \sigma}^\beta-\langle\rho \sigma\rangle \\
&=\Gamma_{\mu \nu \sigma, \rho}-(\Gamma_{\mu\beta\rho} +\Gamma_{\beta\mu\rho})\Gamma_{\nu \sigma}^\beta+\Gamma_{\mu \beta \rho} \Gamma_{\nu \sigma}^\beta-\langle\rho \sigma\rangle\\
&=\Gamma_{\mu \nu \sigma, \rho}-\Gamma_{\beta\mu\rho}\Gamma_{\nu \sigma}^\beta-\langle\rho \sigma\rangle
\end{aligned}
$$

さらに、$${\langle \rho\sigma\rangle}$$を具体的に書き下すと、

$$
\begin{aligned}
R_{\mu \nu \rho \sigma}&=\Gamma_{\mu \nu \sigma, \rho}-\Gamma_{\beta\mu\rho}\Gamma_{\nu \sigma}^\beta-\langle\rho \sigma\rangle\\
&=\Gamma_{\mu \nu \sigma, \rho}-\Gamma_{\beta\mu\rho}\Gamma_{\nu \sigma}^\beta-(\Gamma_{\mu \nu \rho, \sigma}-\Gamma_{\beta\mu\sigma}\Gamma_{\nu \rho}^\beta)\\
&=\Gamma_{\mu \nu \sigma, \rho}-\Gamma_{\mu \nu \rho, \sigma} +\Gamma_{\beta\mu\sigma}\Gamma_{\nu \rho}^\beta-\Gamma_{\beta\mu\rho}\Gamma_{\nu \sigma}^\beta
\end{aligned}
$$

さらに式（7.5）のクリストッフェル記号の定義式を用いて第一項と第二項を書き直すと

$$
\begin{aligned}
R_{\mu \nu \rho \sigma}&=\Gamma_{\mu \nu \sigma, \rho}-\Gamma_{\mu \nu \rho, \sigma} +\Gamma_{\beta\mu\sigma}\Gamma_{\nu \rho}^\beta-\Gamma_{\beta\mu\rho}\Gamma_{\nu \sigma}^\beta\\
&=\frac{1}{2}\left(g_{\mu\nu,\sigma\rho}+g_{\mu\sigma,\nu\rho}-g_{\nu\sigma,\mu\rho}\right)-\frac{1}{2}\left(g_{\mu\nu,\rho\sigma}+g_{\mu\rho,\nu\sigma}-g_{\nu\rho,\mu\sigma}\right)+\Gamma_{\beta\mu\sigma}\Gamma_{\nu \rho}^\beta-\Gamma_{\beta\mu\rho}\Gamma_{\nu \sigma}^\beta\\
&=\frac{1}{2}\left(g_{\mu \sigma, \nu \rho}-g_{\nu \sigma, \mu \rho}-g_{\mu \rho, \nu \sigma}+g_{\nu \rho, \mu \sigma}\right)+\Gamma_{\beta \mu \sigma} \Gamma_{\nu \rho}^\beta-\Gamma_{\beta \mu \rho} \Gamma_{\nu \sigma}^\beta .\tag{11.6}
\end{aligned}
$$

となる。この式より、リーマンテンソルには更に追加の対称性

$$
R_{\mu \nu \rho \sigma}=-R_{\nu \mu \rho \sigma}\tag{11.7}
$$

と

$$
R_{\mu \nu \rho \sigma}=R_{\rho \sigma \mu \nu}=R_{\sigma \rho \nu \mu}\tag{11.8}
$$

があることが分かる。リーマンテンソル$${R_{\mu\nu\rho\sigma}}$$は添字が４つあり、それぞれの添字は０から３まで取りうるので、$${4^4=256}$$の成分を取りうるが、これらの対称性のおかげで独立した成分はわずかに2０個だけになる。

（リーマンテンソルの成分が２０個であることの説明）

式（11.7）と式（11.8）より、$${(\mu\nu),(\rho\sigma)}$$をそれぞれセットとして考えれば良い事がわかる。

また、式（11.7）より$${(\mu\nu)}$$の組合せで許されるのは(10),(11),(20),(21),(30),(31),(32)の6通り。

また、式（11.8）の真ん中と右側の式（11.7）より$${R_{\mu\nu\rho\sigma}=-R_{\mu\nu\sigma\rho}}$$なので、同様に$${(\rho\sigma)}$$に関しても6通りの組合せがある。

ここで、簡単のため$${(\mu\nu),(\rho\sigma)=A,B}$$と置くと、A,Bはそれぞれ１から6まで取りうるので、リーマンテンソルの成分の数は$${6\times6=36}$$成分になる。しかし、式（11.8）の左側と真ん中の等式より、$${R_{AB}=R_{BA}}$$なので、$${R_{AB}}$$は対称行列であり、その成分は$${(6\times6-6)/2+6=21}$$成分となる。さらに式（11.5）で自由度が1つ減るので、最終的にリーマンテンソルの自由度は$${21-1=20}$$となる。