閑話9題

　さて今回の話は、ゲームとも時事とも何ら関係のないことなのだが、先日得た知見が面白かったので、一席お付き合いいただきたい。
　いつも持って回った文章を書きがちなのだが、今回はまず結論から語ってしまう。

　ここに、0.99999……という、9が無限に続く小数があるとする。
　この数字は、1と等しい。
　そういう話である。

　キョトンとされている方も多かろう。1は1以外に存在せず、少しでもズレたらイコールではない。と多くの方はお考えのはずだ。
　だが困ったことに、数学はこの両者を手品のようにイコールで結んでしまうのだ。その方法は多岐にわたるが、一番簡単な例を2つ紹介しよう。

　まず、3分の1という数を小数に直してみよう。

　横書きでは1/3と表記するように、1÷3を計算する。筆算でやってみてほしい。（電卓は機種によって機能上「ズル」をするのだ）
　答えは0.333333……と、3が延々続く。
　では、両辺を3倍してほしい。

　0.333333……は3倍すると0.99999……となる。
　ということは3分の1を3倍すると同じくなるはずだが……。

　そう、3等分したものは3倍すると元に戻る。1なのだ。

　まだ納得いかない顔の方も多かろう。ではもう一つの証明例を。
　数学でおなじみの「大きい数を記号で表す」という技を使ってみる。円周率のπなどがそれだ。
　ここでは0.99999……を、仮にcとしよう。

　cを10倍すると10cと表記できる。0.99999……を10倍すると桁が一つ上がって9.99999……となる。

　ではここでcをひとつ引いてみよう。

　10cは9cとなり、9.99999……から0.99999……が引かれて9となる。

　9cと9が等しいのなら、cは1しかありえない。

　おやおや、さっきまで0.99999……だったcが1になってしまった。

　他にも専門的な立証法が存在するが割愛する。何度やっても0.99999……と1は数学上「同じ数」なのだ。
　文系の方向けに、言葉だけで証明するなら以下のようになるだろう。
　1と0.9の差は0.1。1と0.99の差は0.01。1と0.999の差は0.001だ。
　では1と0.99999……の差はいくつか？つい0.000……001。と答えそうになるが、ちょっと待った。0.99999……は9が「無限に」存在する小数だ。一方0.000……001は、たとえ0をいくつ並べようと、末尾に1を打ってしまえば有限ということになる。
　故に両者の差は「無限の0の後ろに1がつく」という、ジレンマを含んだ数を求めなければならない。そんな数字は存在しないので、二つの数の間に差は存在しない、ということになる。
　
　さぁ、あなたはこの話に納得がいっただろうか。それともまだ腑に落ち切らないだろうか。
　言ってしまえば、そのどちらのリアクションも正しい。事実数学者たちの間では長く受け入れられ、一般教育課程の一部でさえあるこの問題も、納得いかない人は昔から存在するという。

　私がこのことを面白く感じた最大の理由は、水も漏らさぬ鉄壁の理論と証明でさえ、時に情や観念に容易く曲げられ、無限のグレーゾーンに苛まれてしまうことがあるという世の中の不条理を、物事をぴっちり分けることを至上命題としている（と私が一方的に思っていた）数学が、さも当たり前のように肯定してくれたような気がしてしまったからだ。

　あなたがこのことから何を感じるかは、あなただけのものであるからお任せする。ただ今なお苦酸っぱい顔をしているであろう方々に、多少の意地悪をしたつもりでいることは否定しない。

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