モンティホール問題【解説】

こんにちは、ひかりです(^^)

今日は、「モンティホール問題」の解説をします！

「モンティホール問題」とは、

実際にあった話が元になっている確率の話です。

直感でこのくらいだろうと思う確率と、

実際に計算して出た確率が異なることから、

話題になっています。

私はこの手の話が大好きで、

腑に落ちる考え方を見つけたので、

ご紹介します。

確率の問題を解くときの考え方など、

ヒントになれば嬉しいです(^^)

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・モンティホール問題のルール

・こう考えれば納得できる

・確率考える時のコツ

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・モンティホール問題のルール

［前提］

・挑戦者が、3つの扉の中から、当たりの扉を当てるゲーム。

・扉は3つある。

・1つは当たり、2つはハズレの扉(当たりは車がもらえる！)。

・司会者は当たりの扉を知っている。

①挑戦者が1つ扉を選ぶ。

②司会者が、①で選ばれなかった扉のうち、ハズレの扉を開く。

③挑戦者は最後のチャンスとして、扉を変えることができる。

さて、当たりの扉を選びたい場合、

挑戦者は扉を変えるべきか、変えないべきか。

答え

↓

↓

↓

変えたほうがいい！

(変えた方が当たる確率が高い)

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・解説

おおざっぱな流れ

①挑戦者が左、司会者が真ん中　の扉を選ぶものとする

②当たり、ハズレ、ハズレの並び方を全通り考える

③司会者が当たりを選んだ場合は右の扉を開けることとする

④挑戦者が最初に当たりを引くパターンと、残った扉が当たりのパターン、

それぞれを数える

ちょっとだけルールを変えた部分もありますが、

1個づつ解説します。

特に③は違和感あると思うんですけど、

これも説明します！

①②

考えられるパターンを全部書き出します。

これで、確率の分母は　6   と分かりました！

「最初に挑戦者が　当たりの扉を選ぶ確率は　6分の〇〇」だし、

「扉を変えた場合に　その扉が当たりである確率は　6分の〇〇」

ということです。

・挑戦者と司会者が選ぶ扉を固定すると考えやすいです。

・ハズレは「ハズレ1」「ハズレ2」のように別のものとして考えると確実です。

固定するのは、「挑戦者、司会者」でも「アタリ、ハズレ、ハズレ」でもいいのですが、とにかく、上のパターン(挑戦者がアタリ選んで、司会者はハズレ選んで~みたいなの)を全通り書き出します。

ハズレを別物として考えるのは、よくある袋から玉を取り出す問題と同じです。

黒を取り出す確率聞かれたら、「3分の1」って答えれると思うんですけど、

これって頭の中で、ちゃんと白を2つって区別してるからじゃないでしょうか。

「黒取り出すパターンと、

白取り出すパターンと、

もう一個の白を取り出すパターンがあるな。

白引く確率高そうだな」って。

この「白」と、「もう一個の方の白」って分けるのと同じように

「ハズレ(ハズレ1)」と「もう一個のハズレ(ハズレ2)」と考えます。

(当たりが入る箇所は3箇所っていう考え方もあるなって

今気づいた……)

次に、それぞれの確率を考えます！

「最初に当たりの扉を選んでて、

変えなかったら車だったよ、やった~♪」

の確率が6分の2。

挑戦者が最初にハズレを選んで、

司会者がハズレを開けて、

残ったのが当たりの扉。

「扉変えてたら、当たりだったのか！」

の確率が6分の2。

ちなみに挑戦者が探偵だったら……って考えると臨場感出ます。

推理もので探偵が

「しなかったんじゃない。できなかったんだ！」

って言って犯人当てるシーンってあるあるですよね。

私はそんな感じでイメージしてます。

最後に「×   〇　×」の時。

この場合は「司会者が当たりを選んだ場合は右の扉を開けること」とします。

モンティホール問題では

「司会者はアタリの扉を知っていて、ハズレの扉を開ける」ことになってますが、

ちょっとだけルールを変えます。

「司会者がアタリの扉を選んだ場合、ハズレの扉に選び直して開ける」。

どちらも結果的には

「挑戦者が選ばなかった扉のうち、ハズレの扉を開いている」ことに変わりありません。

イメージとしては、間違えてアタリ開けちゃって、

でも進行上、そのまま進めるしかなくてハズレ開ける、

って考えると分かりやすいかも！

司会者「では、ハズレの扉オーｰｰｰｰｰプン！……

あぁっ誤ってアタリの扉を開けてしまったので、

やり直し…え、できない？

できないようなのでこのまま進めます(汗)

では挑戦者さん扉を変えますか？」

挑戦者「変えますか(ラッキー)」

みたいな。

こうなる確率が6分の2。

最後に、

④「挑戦者が最初に当たりを引くパターン」と、

「残った扉が当たりのパターン」、を数えます。

挑戦者が扉を変えないで当たる確率　6分の2。

挑戦者が扉を変えて当たる確率　6分の4。

ということで、

扉変えた方が当たる確率高い！！

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・確率考える時のコツ

上に書いたように考えたら、私は腑に落ちました。

確率って、直感と答えが違う時もありますよね。

そんな時は、

登場人物の視点に立って考えてみると

新しい発見があるかもしれません！

私もモンティホール問題が納得できなくて、

「どうして司会者はこの扉を開けたんだろう？」とか、

挑戦者の気持ちに立って考えました。

思い返してみれば、

よくある確率の問題、

「サイコロ振る」とか「袋の中に玉」とか、

そういうのも

「そのゲームに参加してる人」の視点で解いてた気がします。

「自分が賭けるならどっちかな」とか。

確率って、誰目線で考えてるかも

重要な気がします。

まだ上手く文章で説明できないのですが……。

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ということで、モンティホール問題の説明と、

確率の問題は登場人物の気持ちになって考えるといいかも、

という話でした！

最後までありがとうございました。