数学について
数学とは
数学は、数、公式、空間、そしてその量と変化に関する学問です。
算術と数論…数に関する学
代数…公式と関連する学
幾何学…空間に関する学
微積分と解析…量とその変化に関する学
に分かれます。
数学の活動
数学の活動は、抽象化と証明です。
抽象化という現代数学でいう公理を構成する活動
数学的証明によって既に発見された定理、公理を出発点に、演繹的な規則を適用することにより新しい定理を発見する活動
にわかれます。
数学の応用例
科学を数理モデル化することにより実験法則から予測を行うことができます。
例として、
彗星の近日点の歳差運動
ニュートンの万有引力の法則
アインシュタインの一般相対性理論
などが挙げられます。
工学
医学
金融
コンピューターサイエンス
社会科学
統計学やゲーム理論
には、数学は不可欠です。
数学のジャンル
応用数学
純粋数学
に分類され、応用分野とは独立して進歩したものを純粋数学といい、上記のように応用を目的としたものを応用数学といいます。
ユークリッドの素因数分解がRSA暗号システム（コンピュータネットワークのセキュリティシステム）に応用されるように後から、応用される例もあります。
数学の歴史
歴史的には
初期
数学的厳密性を求めたギリシャ数学、最も顕著なのはユークリッドの「原論」のように数学は基本的に幾何学と算術をメインにしていました。
数学的革新と科学的発見との間の相互作用によって
のちに、
16ー17世紀
代数
微積分
が導入されます。
19世紀
数学の無矛盾性に対して根本的な問題がおき
その解決として公理的方法が体系化されました。
語源
古代ギリシャ語の「学んだこと」、「知ったこと」を語源とします。
研究と科学も意味します。
ピタゴラス学派では学者を意味していました。
ラテン語では占星術（天文学）を意味するのが一般的でした。
数学の分野
数値…数論
形状…幾何学
数学表記法と数式の操作…代数
連続関数…微積分
似非科学…数秘術、占星術
数論
数、つまり自然数 整数 有理数に関する分野
有名な例
フェルマーの最終定理・・代数幾何学、圏論、ホモロジー代数、スキーム理論を使用してアンドリュー・ワイルズが証明
ゴールドバッハの予想・・まだ証明されていない。
幾何学
測量と建築のために
線、角度、円などの経験的なものから始まった。
根本的革新として証明が導入される。定理は公理より推論によって証明されなければならない。ユークリッドの「原論」のように
ユークリッド幾何学…平面幾何学、空間内の線、平面、円から構成される形状とその配置に関する研究→合成幾何学
デカルト座標…数直線をもとに座標を使用して点を表現。代数的（のちに微積分）方法によって幾何学的問題を解決→解析幾何学
非ユークリッド幾何学…平行線公理に従わない→数学の根本的危機（ラッセルのパラドックス）→公理的方法
代数学
方程式と数式を操作する技術
変数を導入する→文字式を使えるようになる
線形代数…未知の多項式の研究、数値以外の
行列
剰余整数
幾何学的変換
などで表現
算術演算の一般化が有効
抽象代数…代数構造の集合的操作
微積分と解析
微積分はニュートンとライプニッツによって独立して同時に導入されました。相互に依存する変数の関係に関する研究。オイラーによって関数の概念が導入され、多くの結果がもたらされました。
解析は微積分の高度な分野をいいます。
実数解析と複素数解析に分かれます
離散数学
有限の数学的対象に関する研究
アルゴリズムの実装と計算の複雑度に関する研究
数理論理と集合論
集合と論理は哲学に分類されていた
カントールの無限集合の議論によって
数学の根本的な危機がおきる・・基本的な数学的対象の定義は数学的厳密さを確保するには不十分であることが判明する→形式化された集合論の内部で公理的方法を体系化することにより解決
論理、定理、証明すらも数学的対象にする→ゲーデルの不完全性定理
応用数学
科学、工学、ビジネス、産業で使用される数学的方法の研究
つまり、数学的モデルの定式化、研究、および使用にフォーカスしている。
統計学およびその他の意思決定科学
応用数学が数学的に定式化される統計学の分野、特に確率論と重なり合ってくる。
無作為抽出・実験→意味のあるデータを作成
観察研究からデータを分析するとき、統計学者はモデリングの技術と理論を使用→データを理解する
推論モデルの選択と推定→新しいデータの予測
統計の数学的理論は
オペレーションズ・リサーチ
制御理論
数理経済学
などの意思決定科学と重なってくる。
計算数学
人間の数値処理能力を超える数学的問題
近似理論を用いて解析の問題を解決する
アルゴリズム、行列、グラフ理論
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