論理学入門 III

論理学入門 I では記号論理学の基本を、論理学入門 II では述語とか量化に挑戦してみました。

この先、ちょっと記号の操作に関してもう少し広げていく予定です。記号の操作というと、数学っぽくてお嫌いかもしれませんが、小学校の算数レベルの事だと思ってください。小学校の算数といえば、

複雑ですね。嫌ですね。通分って憶えてます？

21+34+35+15 = 105 なので、これは 1 になります。最初から１って言えよ、って話ですが、しかし１だと分かったら１なので１だと分かりますよね。変な分数とは違います。

論理においてもゴチャゴチャなに言ってるかわからない時に、通分・約分できないでしょうか。できるからこそ今ここで通分の話してます。

これからやってくやつも、約分・通分と似てます。今後、ほんとに約分・通分みたいに記号だけで「計算」していくところまで目指していますが、今日は約分・通分がどうやって起こるかみたいなところを考えてみましょう。

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おじさん来ました！！！

明日は晴れてるか晴れてないか。

まためんどくさい事言っています。「明日は」という時間を相手にすると、論理学入門 II でやってみたいにめんどくさくなるので、そこは無視してみましょう。おじさん、やり直しです。

晴れてるか晴れてないか。

それでもめんどくさかった。おじさん、言われなくても分かりますよね。おじさんの言うとおりです。晴れてるか晴れてないか、それ以外にありません。記号で描くと、

晴 | j晴

になりますね。晴れてるか晴れてないかのどちらか、それ以外にないので、おじさんは常に正しくなります。「正しい」というのは道徳的な正しさとかそういうのではなくて、本当にそうなる、という意味です。専門用語でこれを「真」（しん）と呼びます。

一般的に、

A | jA

というのは必ず真になります。そりゃそうですよね。AであるかAでないのどちらか。当然そうでしょう。恒真式と呼ばれています。必ず真になります。ちなみに英語では tautology と言います。これがちょっとわからないというのならお知らせください。

一方で、これはちょっと無理ですよね。

晴れていて晴れていない。

これは起こりえません。記号で書くと、

晴 & j晴

一般的に、

A & jA

は成り立たつはずがないので、必ずウソになりますね。成り立たないことを「偽」と呼びます。矛盾してますもんね。専門用語でもこれは「矛盾」と呼ばれています。英語では contradiction と言います。

真偽揃いましたね。どっちか分からないことはあっても、真か偽のどちらかになります。生活の上でそうじゃないことはもちろんあるのですが、論理学では真か偽のどちらかになるというのが前提です。

またおじさん来ました！

明日は昼は晴れているか、晴れていなければ昼である。

なんとなくこれは真だと感じますね。「なんとなく」ではなく、ハッキリと矛盾していることを

まず、「昼は晴れている」は 昼 & 晴 になりますね。

そして、「晴れていなければ昼である」は　j晴→昼  ですね。

で、この両者を「か」でつないでいます。なので  |  ですね。

(昼 & 晴)  |  (j晴→昼)

論理学入門 I でやった通り、j晴→昼 は  jj晴 | 昼に書き換えられますね。

ところで、jj晴　ってなんですか？！

晴れじゃないじゃない、って、晴れってことですよね。二重否定は肯定、
-1 x -1 = 1  なのと似てて面白いと思うのですが、否定を２回やると肯定になります。なので  jj晴　は　晴 　に書き換えられます。なので、j晴→昼 は  晴 | 昼に書き換えられますね。

(昼 & 晴)  |  (晴 | 昼)

ちょっと立ち止まって考えてみましょう。論理学入門 I でやったように、晴れと昼の組み合わせは以下の４つでした。

晴 & 昼 （晴れている昼間）
晴 & j昼 （晴れている非昼間）
j晴 & 昼 （晴れてない昼間）
j晴 & j昼 （晴れてない非昼間）

表にしてみましょう！
「晴れている」というのは「晴」が「真」ということです。

この４つしか無いんです。今知りたいのは (昼 & 晴)  |  (晴 | 昼) がこの４つのうちどれに当てはまるか、それがわかればいいんですよね。おじさんのことを分かりたいと思わなくても、おじさんの言ってることが理解できます。

ちょっとここで情報整理です。(昼 & 晴)  |  (晴 | 昼) は (晴 & 昼)  |  (晴 | 昼) と同じことですよね。

(晴 & 昼)  |  (晴 | 昼)

(晴 & 昼)  と (晴 | 昼) は別々に考えてみますね。算数と同じ、全部いっぺんに計算すると混乱して間違えます。

まずは  晴 & 昼  を。

晴と昼が両方「真」のとき「真」になりますね。そりゃそうだろ、って話なんですけど、そりゃそうだろをやり続けるのが論理学です。「そりゃそうだろ」に行き着くのがゴールなのかもしれません。なので、「そりゃそうだろ」というのは「達成」だと思ってください。

それではもう一つ、そりゃそうだろ しましょう。晴 | 昼 ですね。晴れているか昼間か。

両者出揃いました。まとめてみますね。

なるほどなるほど。晴 & 昼 と 晴 | 昼 では両方真のとき、晴 | 昼 だけ真のときがありますね。

で、今知りたいのは、(晴 & 昼)  |  (晴 | 昼) ですね。「(晴 & 昼) または (晴 | 昼) 」ってことです。表に足してみますね。

あれっ、結局  (晴 | 昼) と同じですね。  晴 | 昼 が真の時は (晴 & 昼)  |  (晴 | 昼) も真、晴 | 昼 が偽の時は (晴 & 昼)  |  (晴 | 昼) も偽になっちゃってます。これってつまり、 「晴 | 昼」 と (晴 & 昼)  |  (晴 | 昼) はおんなじだという話です。

そりゃそうだろ、って思う人もいるかもしれませんが、なぜだか考えてみましょう。

晴 & 昼 が真のとき、晴 | 昼 は真となります。「晴れてる昼間」は「晴れか昼のどちらか」に当てはまりますね。

「晴れてる昼間」は「晴れか昼のどちらか」の一形態とも言えます。なので、(晴 & 昼)  |  (晴 | 昼) というのは (晴 | 昼) と同じことになってしまうわけです。(晴 & 昼)  は悪く言うと蛇足ですね。何も情報を足してません。

つまり、(晴 & 昼)  ならば  (晴 | 昼) なのです！

大きな声で言ってしまったせいか、おじさんにも聞こえてしまったようです。すみません。

(晴 & 昼)  →  (晴 | 昼)

これって論理学入門 I でやったやつですね。→を消す方法憶えてますか？レゲカのことを憶えていただいてるのは知ってます。

しかし、今日はもう長くなってしまったので終わりにして、次回の 論理学入門 IV はここから始めましょう。おじさんにはまた来てもらいます。