アインシュタインタイルTile(1,1)の配置パターンを愛でる。とにかく愛でてみる。

前回の記事はこちら。

前回やり残した、Tile(1,1)の配置パターンにまいります。

H7・H8も確認

おさらい的ではありますが、Tile(1,1)の場合のH7とH8を見ていきます。
H7、H8は論文「An aperiodic monotile」の１８ページにある、「HAT」などのアインシュタインタイルを複数個（H7は７個、H8は８個）組み合わせたユニットになります。

引用：An aperiodic monotile p.18
Figure 2.11
https://doi.org/10.48550/arXiv.2303.10798

下の図が、Tile(1,1)のH7（左）とH8（右）になります。

H7を１２０度、２４０度回転させて重ねると、以下になります。

H8を１２０度、２４０度回転させて重ねると、以下になります。

ほぼ、前回と同じような見た目なので、駆け足ですすみました。
では、H7とH8を１８０度回転させて重ねます。

ということで、１２０度・２４０度回転重ねでは、下左図の２つの点対称図形に分かれるヘリコプターとなり、１８０度回転重ねでは、下右図のまた異なる２つの点対称図形に分かれるヘリコプターとなります。

ちなみに、右の図はもう１つ回転尾翼（青）を追加すると、バットマンマークっぽくなります。

この図形は、周期的に敷き詰めることができます。

「SPECTRES」の配置パターン

「SPECTRES」の配置パターンは、論文「A chiral aperiodic monotile」の６ページ（Figure2.1）、および７ページ（Figure2.2）にあります。

引用：An chiral aperiodic monotile p.6
Figure 2.1
https://arxiv.org/abs/2305.17743

引用：An chiral aperiodic monotile p.6
Figure 2.1
https://arxiv.org/abs/2305.17743

この配置パターンの扱い方について、日本テセレーションデザイン協会代表の荒木義明さんのツイートがあります。

新論文のFig2.2の置換システムはちょっと不思議。
初期値は一匹の亀。次のステップで全部を裏にしてから並べています。このうち緑の亀だけ30度分ズレている。
この30度のズレは前回の非周期タイリングには現れない置き方で、これが今回の鍵なんだろうか？青は論文の薄緑に対応https://t.co/aMpssYyKTk pic.twitter.com/9DgHIhiXGR

— Yoshiaki Araki 荒木義明 (@alytile) May 30, 2023

【引用】
新論文のFig2.2の置換システムはちょっと不思議。 初期値は一匹の亀。次のステップで全部を裏にしてから並べています。このうち緑の亀だけ30度分ズレている。 この30度のズレは前回の非周期タイリングには現れない置き方で、これが今回の鍵なんだろうか？青は論文の薄緑に対応

引用：https://twitter.com/alytile/status/1663450159345463297

ちなみに緑と青の亀の塊を「Mystic」（神秘？)と呼ぶそうです。さて置換システムの２回目では９匹の亀の塊を８つ作り全部裏にして並べます。このときピンク色の部分が１箇所重なります（ナゼ！） pic.twitter.com/OeFSY6o4fW

— Yoshiaki Araki 荒木義明 (@alytile) May 30, 2023

【引用】
ちなみに緑と青の亀の塊を「Mystic」（神秘？)と呼ぶそうです。さて置換システムの２回目では９匹の亀の塊を８つ作り全部裏にして並べます。このときピンク色の部分が１箇所重なります（ナゼ！）

引用：https://twitter.com/alytile/status/1663451552949075969

あとはこの繰り返しで、先の塊を８つ複製して全部裏にして並べます。このとき黄色の塊が１箇所重なります（そして外形はフラクタルになっていく） pic.twitter.com/tVbwsSiMD9

— Yoshiaki Araki 荒木義明 (@alytile) May 30, 2023

【引用】
あとはこの繰り返しで、先の塊を８つ複製して全部裏にして並べます。このとき黄色の塊が１箇所重なります（そして外形はフラクタルになっていく）

引用：https://twitter.com/alytile/status/1663452005606780933

どうやら、いちいちタイル全部裏返してから、配置パターンを用いてどんどん拡大していくようです。
なんで裏返すのでしょうかね？

双方の配置パターンを見比べる

「SPECTRES」の配置パターンですが、これらは先の論文の配置パターンH7とH8とどれくらい似ているのか、確認してみます。

左のパターンはタイル８個の組み合わせなので、H8と同じタイル枚数。
右のパターンはタイル７個の組み合わせなので、H7と同じタイル枚数、となります。

右側の配置パターンをちょっと動かしてみます。

左図が配置パターンです。
水色と黄色のタイル１組は「MYSTIC」とよばれます。
黄色のタイルを一旦外しまして（中図）、水色のタイルを残りのタイルに当てはまるように裏返します（右図）。

H7の配置パターンには裏返したタイルが１枚あるので、このタイルを目印として比較します。
H7を裏返しのタイルに合わせて角度を調整し、２つの配置パターンを並べると、このようになります。

左：「SPECTRES」配置パターンをいじったもの
右：H7

７枚中５枚が一致しました。
異なる箇所を抜き出したのが、以下の図です。

左：「SPECTRES」　右：H7

もう１つの「SPECTRES」配置パターンとH8と比べてみると、８枚中６枚が一致し、異なる箇所もまた先の見比べたものと一致します。

一番上にあるタイルを０度とした、それぞれのタイルの向きは以下の図のようになります。

左：「SPECTRES」の配置パターン
右：H8（左上のタイルを除くとH7になる）

なぜ裏返す？

しかし、「SPECTRE」配置パターンは、いちいち裏返すのか、不思議ですね。
以前の記事「アインシュタインタイル「SPECTRES」を愛でる。とにかく愛でてみる。」で、こんな図を書きました。

「HAT」と「TURTLE」は（回転主翼（黄色）が鏡像の）対の関係になっている図です。
前回の記事「アインシュタインタイル配置パターン「H7」「H8」を愛でる。とにかく愛でてみる。」でも、「HAT」と「TURTLE」が対関係であることを垣間見ました。

「HAT」の非周期的敷き詰めで出てくる裏返しのタイルは、実は対となるタイル「TURTLE」と関係していると思います。

Tile(1,1)は、対となる関係の図形はありませんが、以前の記事「アインシュタインタイルTile(1,1)を分割して愛でる。とにかく愛でてみる。」で、分割次第では、対になる分割ができました。

引用元：https://twitter.com/alytile/status/1667998785396695040

配置パターンで裏返すのは、「HAT」と「TURTLE」との対関係にある図形に似たもつれをほどくため、かも知れません。

締め

ということで、ざっくり配置パターンを愛でてみました。
論文にドップリ浸からず、浅くサラリと眺めています。
一貫して、本当にたいしたことを書いていません。

とりあえず、ここで一区切りにして落ち着くことにします。

他の記事も書かねば、と若干焦っております。

では。