妻から出題された良問！！
先日妻から、ある数学の問題を出されました。
８月２２日の夜に出題されたのですが中々解けず、ようやく昨日の朝、ようやく解くことができました。
面白く有名な問題なので、記事で紹介させてもらいます。
最後まで読んでいただけると、うれしいです！！
１ 出題された問題
下の図のような角度が与えられている時、$${∠x}$$の大きさを求めなさい。
２ 解けそうなのに解けない！
この問題の、解けそうなのに解けないところを書きます。
今回のような角度を求める問題は、三角形の内角の和などの性質を使って、分かる角度をどんどん明らかにしていきます。
まず、図２のように△BCEの2つの内角は分かっているから、残りの1つの角は、
$${∠BEC=180°-60°-50°}$$
$${=70°}$$
次に、図３のように△ABCに注目すると、先ほどと同様に、
$${∠BAC=180°-80°-50°}$$
$${=50°}$$
また同様にして、△BCDで
$${∠BDC=180°-80°-60°}$$
$${=40°}$$
最後に、向かい合っている角（対頂角）は等しいので、図５の３つの矢印で示した角の大きさが分かる。
さて、これで求めることができる角度は全て求めましたが、これでは$${∠x}$$の大きさが分かりせん。
なぜなら、$${∠x}$$を求めるためには、図６に「？」で示している角の大きさが必須だからです。
どうすればよいのでしょうか。
３ 答えを予想する
答えを予想することは、数学ではとても大切です。
ゴールが見えれば、あとは逆算して考えればいいからです。
今回の問題の場合、角度の大きさを求める問題なので、分度器を使って答えを予想します。
きれいな図をかけば、分度器で答えの予想は十分可能です。
図７を見ると、おそらく答えは30°だと予想できます。
３ 予想した答えから解決策を考える
予想した答えから逆算して解決策を考えます。
今回の解決策は、補助線を入れることです。
どこに、どのような補助線が必要か考えればいいです。
上述したように、この問題を解くためには、「？」の角の大きさが分かることが必要です。
そのためにまずは、
①$${∠x=30°}$$と仮定します。
②そうすると、図６の「？」の角の大きさは80°と言えます。
次に、図８の80°だと分かるために必要な補助線を考えます。
③図９のような$${∠DAE=70°}$$となるような補助線AEをかきました。
この補助線は△ADEが二等辺三角形になるようにかけばいいです。
図１０のように、オレンジの角の大きさは40°です。
もし$${∠BEC=80°}$$（〇で囲んだ角）であれば、△ADEは$${AE=DE}$$であることが言えます。
つまり、補助線BEがかければ、この問題が解けるかもしれません。
４ 解法
まず、辺BCと等しい長さの辺BEを作図します。（図１１）
このとき、△BCEは$${BC=BE}$$の二等辺三角形なので、
$${∠BEC=∠BCE=80°}$$
また、△ABCは$${∠BAC=∠BCA=50°}$$より二等辺三角形。
よって、
$${AB=BE=BC}$$
また、図１２のように
$${∠CBE=20°, ∠ABE=60°}$$
です。
△ABCは$${∠ABE=60°, AB=EB}$$の二等辺三角形だから、正三角形です。
最後に、△BCEで
$${∠BDE=180°-60°-80°}$$
$${=40°}$$
$${∠BDE=∠DBE=40°}$$より、△BDEは二等辺三角形。
$${BE=DE}$$といえるから、
△AEDは$${AE=DE}$$の二等辺三角形。
$${∠AED=40°}$$だから、
$${∠ADE=(180°-40°)÷2}$$
$${=70°}$$
よって、
$${∠x=70°-40°}$$
$${=30°}$$
５ 良問だと思うポイント
私は、この問題を良問だと思う２つのポイントがあります。
ポイント１ 補助線をかく力が育つ
この問題では、補助線を２本描かないと解けません。
これは中々難しい。
ですが、私がしたように、答えから逆算しながら補助線を考えるという方法があります。
そのときに、補助線として描けるのは、二等辺三角形を作ったり、正三角形を作ったりする時だと理解できます。
ポイント２ 正十八角形が隠れている
図１４のように、元の図の辺ABとCDを延長すると、二等辺三角形FBCができます。
この二等辺三角形は、正十八角形の一部です。
６ おわりに
今回妻が出題してくれたこの問題は、「ラングレーの問題」という有名な問題です。
過去には灘中学校の入試にも出されたそうです。
入試でこの問題は厳しいですね笑
でも今回は、入試ではないので分度器を使いましたし、解く過程を色々考察するのが楽しいかったです。
また補助線を逆算で考えるというのは大事ですね。
この問題は、他にも解法があるようなので、興味のある方は挑戦してみてください。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！
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