準同型定理を短完全列で理解する

本記事では係数環を固定した加群について考えます。係数環と加群に特に制限はありません。 短完全列を成す必要十分条件を考える加群 $${L, M, N}$$ と加群準同型 $${f: L\to M, g: M\to N}$$ が次の系列を成しているとします。 $$ 0\to L\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}N\to0 $$ これはすなわち $${\mathrm{Im}(f)\subset\mathrm{Ker}(g)}$$ と同値なのですが、