【渋谷教育学園幕張中学校2019年度入試算数第4問(2)】必ず解ける、というヒント

今回は渋幕(渋谷教育学園幕張中学校)の2019年入試より問題4(2)の図形の問題を取り上げますが、その前にひとつ練習問題を取り上げます。本質的には同じ問題です。

(渋谷教育学園幕張高等学校、2008年6月20日、Kattin撮影、Wikipediaより)

下図で四角形 OAED, ABFE, BCGF は全て正方形です。このとき、∠FOC+∠GOC を求めよ。(∠は角です。)

面倒なので α=∠FOC, β=∠GOC とでもおいておきます(α, β はアルファ、ベータと読みます)。したがって、α+β を求めればよい。

実はこの問題は学年が進むにつれて解き方が変わってきます。中学入試での解き方の前に高校生の解き方からお話しします。

高校生の解き方

小学生が読んでいたら読みとばしてください！

この問題は高校生だと三角関数の加法定理を使うのが分かりやすい。

tan α=1/2, tan β=1/3 であり、tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α tan β)=1 であるので、α+β=45度である(ただし、図より 0度 <α+β< 90度であることを利用)。

また、同じ高校の知識でも複素平面を用いる方法はおしゃれです。

OA=1として上図を複素平面とみなすと点F, Gはそれぞれ 2+i, 3+i となる。α+β はこれらの積がなす角であることに注意すると、(2+i)(3+i)=5+5i であるので、α+β=45度である。

小学生の解き方

さて、ここからが本題。

ここでは、この問題は中学入試レベルを前提としていますが、中学入試で図形問題に使える道具など、渋幕の受験生と言えどもさほど多くはありません。こんなときに必要なのは「この問題は必ず解ける」という考え方です。

問題で出てきている情報は直角以外は辺の長さだけです。にもかかわらず、角度が問われている。としたら、出てくる角度など決まったものしかありません。この時点で、(図から見積もって)答えはα+β=45度だろうと狙いを定めます。

入試ではこの感覚が物を言います。中学入試では答えだけの場合も多いので、時間を要するのであれば答えの書き逃げもありでしょう。笑

笑っていますが、それも合格のための立派な戦略(作戦)です。しかしながら、ここで終わってはためになりませんので、続きを書きます。

α+β=45度だろうという感覚があると、下図を書くことを思い浮かべても不思議ではありません。この図では∠GOJ=α+βとなっています。∠FOC=α を辺OCの下に書いたと思って下さい。

JGを辺で結んだ意図は、三角形JOGが直角二等辺三角形であることを示すためです。直角と辺の長さだけで45度を示すために、一番使えそうなのは直角二等辺三角形です。道具が少なければ、逆に解き方は限定されます。そこを逆手にとった解法とも言えます。

方針が分かってしまえば、あとは示すだけです。というか、三角形JOGが直角二等辺三角形にしか見えません。

三角形BOJと三角形FJGは、BO=FJ, BJ=FG, ∠OBJ=∠JFG=90度なので、合同(同じ三角形)です。したがって、JO=GJとなり、三角形JOGは二等辺三角形です。さらに、∠OJG=∠OJB+∠FJG=∠OJB+∠BOJ=180度-90度=90度ですので、三角形JOGは直角二等辺三角形です。したがって、α+β=45度となります。

(寄り道。今度は中学生的解法)

あ、ちなみに、中学生であれば、三平方の定理を駆使して、OJ=JG=√5, OG=√10から OJ^2+JG^2=10=OG^2 が成立するので、三角形JOGは直角二等辺三角形である、としてもいいでしょう。

本題：渋幕2019年算数第4問(2)

さて、肝心の渋幕2019年算数第4問(2)ですが、このような問題でした。

図2(下図のこと)の四角形ABCDは、2本の対角線が点Oで直角に交わり、AOの長さは6cm、BOとDOの長さはどちらも2cm、COの長さは4cmです。
このとき、角 x の大きさと角 y の大きさの和は何度ですか。

もちろん、答えは90度です。最初の問題で正方形の一片を2cmとしていて、x+y=2×(α+β) となっているだけです。この問題の中でも、三角形ACDを左右反対にして下図のようにしてあげれば、三角形DABと三角形BDCはともに直角二等辺三角形になるので、同じように解いてあげることができます。(三角形DABが三角形JOGに見えませんか？)

研究者が解決を試みている問題と違って、入試には「必ず解ける」問題しか出題されません。それは中学、高校、大学に関係なく、常に言えます。そのことを最大限に生かして問題を解くのもありではないでしょうか？