二項定理

今日は，簡単な二項係数について取り上げる．

導入

$${n!=n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot 2 \cdot 1}$$と定め，$${0!=1}$$と定める．このとき，自然数$${n}$$，$${0}$$以上の整数$${k}$$に対し，

$$
\begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix}:=\frac{n!}{k!(n-k!)}
$$

と定め，これを二項係数という．これだけだと，自然数を自然数で割った数というだけで，名前の由来が分からない．

展開

次の命題を示そう．

任意の自然数$${n}$$に対し，

$$
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^{n-k}b^{k}
$$

が成り立ち，右辺の係数はすべて自然数となる．この命題を示そう．

数学的帰納法により示す．

$${n=1}$$のとき，$${(a+b)^{1}=a+b}$$で，$${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=1}$$となるから，上の等式は成り立ち，右辺の係数はともに自然数となる．

$${n}$$の場合上の等式が成り立ち，右辺の係数はすべて自然数となると仮定する．

$$
(a+b)^{n+1}=a(a+b)^{n}+b(a+b)^{n}\\=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^{n-k+1}b^{k}+\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^{n-k}b^{k+1}\\=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^{n-k+1}b^{k}+\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^{n-k}b^{k+1}+b^{n+1}\\=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left\{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}\right\}a^{n+1-k}b^{k}+b^{n+1}\\=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}a^{n+1-k}b^{k}+b^{n+1}\\=\sum_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}a^{n+1-k}b^{k}
$$

と計算される．但し，途中の二項係数の和の計算は，

$$
\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k+1)!}\left\{(n-k+1)+k\right\}=\frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}
$$

というように行う．この計算と仮定から，先ほどの計算した右辺の係数はすべて自然数となることが分かる．

故に，$${n+1}$$のときも上の等式が成り立ち，右辺の係数はすべて自然数となることが示された．数学的帰納法により，命題が示された．

これでとりあえず，二項展開した項の係数が二項係数に一致することが示された．

隣接した整数の積

二項係数はすべて自然数であることが示されている．このことを使い，隣接した整数の積は何の倍数かを調べよう．

$$
A:=n\cdot (n+1)\cdot \cdots\cdot (n+k-1)
$$

という，$${k}$$個の隣接した整数の積を考えよう．$${A}$$の表現を変えると，

$$
A=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}
$$

と表すことができる．$${(n+k-1)-(n-1)=k}$$となるので，

$$
m:=\frac{A}{k!}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}=\begin{pmatrix}n+k-1\\n-1\end{pmatrix}
$$

となり，示したことから$${m}$$は自然数となる．故に，$${A=m\cdot k!}$$と変形されて，$${A}$$は$${k!}$$の倍数となる．

このとこから，隣接した$${k}$$個の整数の積は$${k!}$$の倍数となることが示された．たとえば，$${13\cdot 14\cdot 15\cdot 16}$$と見た瞬間$${4!=24=2^{3}\cdot 3}$$の倍数だということはすぐにわかるというわけですね．

このテクニックは，大学入試で整数問題なんかを解くときに頻繁に出てくるので，覚えてしまう方もいらっしゃるのではないでしょうか．