負の二項分布の練習

いつものように軽い練習問題を解きます。

問題

ジョーカーを抜いた$${52}$$枚組のトランプがある。十分にシャッフルした後にここからカードを1枚引いてマークと数字を記録し、山札に戻してシャッフルする試行を繰り返すとき、以下の問いに答えよ。
(1)$${10}$$以下のカードを$${3}$$回引くまでにそれ以外のカードを$${2}$$回引く確率を求めよ。
(2)スートがダイヤであるカードを$${5}$$回引くまでに$${10}$$回試行する確率を求めよ。
(3)(2)の状況で、試行回数の期待値と分散を求めよ。

解答

(1)
$${10}$$以下のカードを引く確率は$${p=\dfrac{10}{13}}$$である。成功回数を$${r=3}$$、失敗回数を$${k=2}$$として負の二項分布の式に代入する。

$$
\begin{split}
P(X)&＝\dbinom{r+k-1}{k}p^r(1-p)^k\\
&=\dbinom{5}{2}\Bigl(\dfrac{10}{13}\Bigl)^3\Bigl(\dfrac{3}{13}\Bigl)^2\\
&=\dfrac{90000}{371293}\simeq0.24
\end{split}
$$

(2)
ダイヤのカードを引く確率は$${p=\dfrac{1}{4}}$$、成功回数を$${r=5}$$、試行回数を$${m=10}$$とし、負の二項分布の式に代入する。

$$
\begin{split}
P(X=m)&=\dbinom{m-1}{r-1}p^r(1-p)^{m-r}\\
&=\dbinom{9}{4}\Bigl(\dfrac{1}{4}\Bigl)^5\Bigl(\dfrac{3}{4}\Bigl)^5\\
&=\dfrac{15309}{524288}\simeq0.029
\end{split}
$$

(3)
(2)の情報を元に期待値と分散の式(定義2)に代入すると

$$
E(X)=\dfrac{r}{p}=20\\
V(X)=\dfrac{r(1-p)}{p^2}=60
$$

定義を丸暗記するよりも導出過程を理解した方が早いと思うので、丁寧に理解しましょう。期待値と分散は覚えた方が早いですが。