数検1級 ★1 期待値と分散

問題

$${\fbox{2},\fbox{3},\fbox{5}}$$のカードがそれぞれ$${3}$$枚、$${2}$$枚、$${1}$$枚ある。この$${6}$$枚を袋に入れ、中を見ないで$${2}$$枚のカードを取り出し、その$${2}$$枚のカードに書かている数字の積を$${X}$$とする。このとき、次の問いに答えよ。
$${(1)}$$ $${X}$$の平均値$${E(X)}$$を求めよ。
$${(2)}$$ $${X}$$の分散$${V(X)}$$を求めよ。

解答

　基本問題。もちろん公式も大事になるが、可能な限り書き出して問題の全体像をしっかりイメージしたい。

(1)

$${6}$$枚のカードの中から$${2}$$枚のカードを取り出す場合の数は$${_6C_2=15}$$通りである。$${X}$$の取り得る値は$${4,6,9,10,15}$$であり、それぞれの場合の数は

$$
\begin{array}{lcll}
X=4(2×2)&\rightarrow&  _3C_2&=3通り\\
X=6(2×3)&\rightarrow&  _3C_1×_2C_1&=6通り\\
X=9(3×3)&\rightarrow&  _2C_2&=1通り\\
X=10(2×5)&\rightarrow&  _3C_1×_1C_1&=3通り\\
X=15(3×5)&\rightarrow&  _2C_1×_1C_1&=2通り\\
\end{array}
$$

となる。よって期待値$${E(X)}$$は

$$
\begin{split}
E(X)&=\Bigl(4×3+6×6+9×1+10×3+15×2\Bigl)×\dfrac{1}{15}\\
&=\dfrac{39}{5}
\end{split}
$$

$${\therefore E(X)=\underline{　\dfrac{39}{5}　}}$$

(2)

$${V(X)=E(X^2)-\bigl\{E(X)\bigl\}^2}$$より

$$
\begin{split}
V(X)&=\Bigl(4^2×3+6^2×6+9^2×1+10^2×3+15^2×2\Bigl)×\dfrac{1}{15}-\Bigl(\dfrac{39}{5}\Bigl)^2\\
&=\dfrac{304}{25}
\end{split}
$$

$${\therefore V(X)=\underline{　\dfrac{304}{25}　}}$$

期待値と分散に関する公式は以下のサイトを参照してください

期待値と分散に関する公式一覧 | 高校数学の美しい物語