幾何分布の期待値と分散

例によって期待値と分散を求めます。確率変数$${X}$$が幾何分布に従うとき、期待値と分散は

$$
E(X)=\dfrac{1}{p}　　V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}
$$

では導出していきましょう

期待値の導出

二通りの導出を行います。

導出Ⅰ

$$
\begin{split}
E(X)&=\sum_{k=0}^{\infty} kp(1-p)^{k-1}\\
&=p\sum_{k=0}^{\infty} k(1-p)^{k-1}\\
\end{split}
$$

ここで$${S=\sum_{k=0}^{\infty} k(1-p)^{k-1}}$$とすると高校の数列の知識で解けます。

$$
\begin{array}{rrrr}
&S&=&1&+&2(1-p)&+&…&+&n(1-p)^{n-1}&+&…\\
-\large{)}&(1-p)S&=&&&1(1-p)&+&…&+&(n-1)(1-p)^{n-1}&+&n(1-p)^n&+&…\\
\hline
&pS&=&1&+&(1-p)&+&…&+&(1-p)^{n-1}&-&n(1-p)^n&-&…
\end{array}
$$

ここで、右辺は初項1、公比$${1-p}$$の無限等比級数和$${+α}$$になるので

$$
\begin{split}
pS&=\lim_{n\to \infty} \dfrac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)}-n(1-p)^n-…\\
&=\dfrac{1}{p}
\end{split}
$$

以上より$${S=\sum_{k=0}^{\infty} k(1-p)^{k-1}=\dfrac{1}{p^2}}$$であり

$$
\begin{split}
E(X)&=p\sum_{k=0}^{\infty} k(1-p)^{k-1}\\
&=p×\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1}{p}
\end{split}
$$

導出Ⅱ

準備として以下のマクローリン展開を考えます。

$$
\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+…=\sum_{k=0}^{\infty} x^k
$$

両辺を$${x}$$で微分すると

$$
\dfrac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=0}^{\infty} kx^{k-1}
$$

ここで$${x=1-p}$$とすると先ほどの$${S}$$と一致するので$${S=\dfrac{1}{p^2}}$$となるので$${E(X)=\dfrac{1}{p}}$$となる。

分散の導出

次は分散です。これも二通り示します。

導出Ⅰ

　今までの確率分布の分散と同様に$${V(X)=E(X^2)-(E(X))^2}$$を用い、$${E(X^2)}$$を求めます。

$$
\begin{split}
E(X^2)&=\sum_{k=0}^{\infty} k^2p(1-p)^{k-1}\\
&=p\sum_{k=0}^{\infty} k^2(1-p)^{k-1}
\end{split}
$$

ここで$${S=\sum_{k=0}^{\infty} k^2(1-p)^{k-1}}$$とすると

$$
\begin{array}{rrrr}
&S&=&1&+&4(1-p)&+&…&+&n^2(1-p)^{n-1}&+&…\\
-\large{)}&(1-p)S&=&&&1(1-p)&+&…&+&(n-1)^2(1-p)^{n-1}&+&n^2(1-p)^n&+&…\\
\hline
&pS&=&1&+&3(1-p)&+&…&+&(2n-1)(1-p)^{n-1}&-&n^2(1-p)^n&-&…
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{rrrr}
&pS&=&1&+&3(1-p)&+&…&+&(2n-1)(1-p)^{n-1}&-&n^2(1-p)^n&-&…\\
-\large{)}&(1-p)pS&=&&&1(1-p)&+&…&+&(2n-3)(1-p)^{n-1}&+&(2n-1)(1-p)^n&-&…\\
\hline
&p^2S&=&1&+&2(1-p)&+&…&+&2(1-p)^{n-1}&-&n^2(1-p)^n&-&…
\end{array}
$$

よって

$$
\begin{split}
p^2S+1&=\sum_{k=1}^{\infty} 2(1-p)^{k-1}\\
&=\dfrac{2}{p}
\end{split}
$$

以上から$${S=\sum_{k=0}^{\infty} k^2(1-p)^{k-1}＝\dfrac{2-p}{p^3}}$$であり、

$$
\begin{split}
E(X^2)&=p\sum_{k=0}^{\infty} k^2(1-p)^{k-1}\\
&=p×\dfrac{2-p}{p^3}\\
&=\dfrac{2-p}{p^2}
\end{split}
$$

よって分散は

$$
\begin{split}
V(X)&=E(X^2)-(E(X))^2\\
&=\dfrac{2-p}{p^2}-\dfrac{1}{p^2}\\
&=\dfrac{1-p}{p^2}
\end{split}
$$

導出Ⅱ

期待値の時と同様にマクローリン展開を考える。

$$
\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+…=\sum_{k=0}^{\infty} x^k
$$

両辺を$${x}$$で二階微分すると

$$
\dfrac{2}{(1-x)^3}=\sum_{k=0}^{\infty} k(k-1)x^{k-2}
$$

両辺に$${x}$$をかけて$${x=1-p}$$を代入すると

$$
\sum_{k=0}^{\infty} k(k-1)(1-p)^{k-1}=\dfrac{2(1-p)}{p^3}
$$

よって

$$
E(X(X-1))=\sum_{k=0}^{\infty} pk(k-1)(1-p)^{k-1}=\dfrac{2(1-p)}{p^2}
$$

以上から分散は

$$
\begin{split}
V(X)&=E(X^2)-(E(X))^2\\
&=E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^2\\
&=\dfrac{2(1-p)}{p^2}+\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^2}\\
&=\dfrac{1-p}{p^2}
\end{split}
$$

となる。

　以上で期待値と分散の導出を終わります。なんかどの確率分布も同じような導出をするのですね。自力で一からやると期待値とか分散の定義・求め方が身体に馴染むような感覚になります。次回は例題になると思います。
次回の記事↓

参考

幾何分布の確率関数からの期待値と分散の導出 | AVILEN AI Trend