★5/図形 順天堂大学2023一般選抜A問5

問題

　下図のように直線上に$${AB=1}$$となる$${2}$$点$${A,B}$$をとり、$${AB\perp AD,BC=CD=2}$$となるように$${2}$$点$${C,D}$$をとる。ただし、点$${C}$$は線分$${AD}$$上にある。また、$${CB/\!/DE}$$となるように直線$${AB}$$上に点$${E}$$をとり、$${3}$$点$${E,B,C}$$を通る円と直線$${DB,DE}$$の交点をそれぞれ$${F,G}$$、直線$${FG}$$と直線$${AB}$$の交点を$${H}$$とする。

このとき$${\angle ADE=\fbox{アイ}^\circ}$$,$${\angle BDE=\fbox{ウエ}^\circ}$$であり、
$${DB=\sqrt{\fboxオ}+\sqrt{\fboxカ}}$$(ただし、$${\fboxオ>\fboxカ}$$)より
$${sin\fbox{ウエ}^{\circ}=\dfrac{\sqrt{\fboxキ}-\sqrt{\fboxク}}{\fboxケ}}$$であることがわかる。
また、$${BE=\dfrac{\fbox{コ}\sqrt{\fboxサ}}{\fbox{シ}},\angle EHF=\fbox{スセ}^\circ}$$である。

解答

$${AB=1,BC=2,\angle CAB=90^\circ}$$より$${\triangle ABC}$$は$${1:2:\sqrt3}$$の直角三角形である。また、$${CB/\!/DE}$$より$${\angle ADE=\angle ACB=30^\circ…(\fbox{ア}～\fbox{イ})}$$

$${\angle ACB=30^\circ}$$より$${\angle BCD=150^\circ}$$である。また、$${\triangle BCD}$$は$${CD=CB}$$の二等辺三角形なので、$${\angle CDB=\angle CBD=15^\circ}$$、$${\angle ADE=30^\circ}$$より$${\angle BDE=15^\circ…(\fbox{ウ}～\fbox{エ})}$$

$${\triangle ABD}$$に三平方の定理を適用すると$${DB^2=AD^2+AB^2}$$より

$$
\begin{array}{rl}
DB^2&=(2+\sqrt3)^2+1^2\\
&=8+4\sqrt6\\
&=8+2\sqrt{12}\\
\end{array}
$$

二重根号を外すと$${DB=\sqrt6+\sqrt2…(\fbox{オ}～\fbox{カ})}$$

これらの情報から$${sin15^\circ}$$を求めればよいので

$$
\begin{array}{rl}
sin15^\circ&=\dfrac{AB}{DB}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt6+\sqrt2}\\
&=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}…(\fbox{キ}～\fbox{ケ})\\
\end{array}
$$

$${AD:AE=\sqrt3:1}$$より、$${2+\sqrt3:1+BE=\sqrt3:1}$$、よって$${BE=\dfrac{2\sqrt3}{3}…(\fbox{コ}～\fbox{シ})}$$

四角形$${BEGF}$$は円に内接しているので$${\angle BEG=\angle BFH=60^\circ}$$。また、$${\angle FBH=75^\circ}$$であるので$${\angle EHF=45^\circ…(\fbox{ス}～\fbox{セ})}$$

総評

　基本的な内容で構成されている問題でした。図形の性質の問題は教科書に載っているすべての情報を常に使える状態にしておくことが大事なので、定期的に復習しましょう。