2022年 東京海洋大学 前期 海洋工 大問4

実数$${a}$$に対して, $${f(a)}$$を次で定める.
　$${f(a)=\displaystyle\int_a^{a+1}|x^2-1|dx-\int_a^{a+1}||x|-1|dx}$$
(1) $${f(-2)}$$と$${f(\frac{1}{2})}$$の値を求めよ.
(2) $${a}$$の値により場合分けして, $${f(a)}$$を求めよ.
(3) $${f(a)}$$の最小値を求めよ.

解答
(1)
$${|x^2-1|}$$について
$${x^2-1\ge{0}}$$, すなわち$${x\le{-1}, 1\le{x}}$$のとき$${|x^2-1|=x^2-1}$$
$${x^2-1\le{0}}$$, すなわち$${-1\le{x}\1}$$のとき$${|x^2-1|=-x^2+1}$$
$${||x|-1|}$$について
$${x\ge{0}}$$かつ$${x-1\ge{0}}$$, すなわち$${1\le{x}}$$のとき$${||x|-1|=x-1}$$
$${x\ge{0}}$$かつ$${x-1\le{0}}$$, すなわち$${0\le{x}\le{1}}$$のとき$${||x|-1|=-x+1}$$
$${x\le{0}}$$かつ$${-x-1\ge{0}}$$, すなわち$${-1\le{x}\le{0}}$$のとき$${||x|-1|=x+1}$$
$${x\le{0}}$$かつ$${-x-1\le{0}}$$, すなわち$${x\le{-1}}$$のとき$${||x|-1|=-x-1}$$
以上より, $${y=|x^2-1|}$$と$${y=||x|-1|}$$を重ねたグラフの概形は以下のようになる.

$${a=-2}$$のとき, $${-2,-1}$$はともに上記グラフの①に属するから,
$${f(2)=\int_{-2}^{-1}(x^2-1)dx-\int_{-2}^{-1}(-x-1)dx}$$
$${=\int_{-2}^{-1}\lbrace{x^2-1-(-x-1)}\rbrace{dx}}$$
$${=\int_{-2}^{-1}(x^2+x)dx}$$
$${=\Big[{\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2}\Big]_{-2}^{-1}}$$
$${=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-(-\frac{8}{3}+2)}$$
$${=\dfrac{5}{6}}$$
$${a=\frac{1}{2}}$$のとき, $${\frac{1}{2}\le{a}\le{1}}$$で③, $${1\le{a}\le{\frac{3}{2}}}$$で④に属するから,
$${f(\frac{1}{2})=\int_{\frac{1}{2}}^{1}(-x^2+1)dx+\int_{1}^{\frac{3}{2}}(x^2-1)dx-\lbrace{\int_{\frac{1}{2}}^{1}(-x+1)dx+\int_{1}^{\frac{3}{2}}(x-1)dx}\rbrace}$$
$${=\int_{\frac{1}{2}}^{1}(-x^2+x)dx+\int_1^{\frac{3}{2}}(x^2-x)dx}$$
$${=\Big[{-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2}\Big]_{\frac{1}{2}}^1+\Big[{\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2}\Big]_1^{\frac{3}{2}}}$$
$${=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-(-\frac{1}{24}+\frac{1}{8})+\frac{9}{8}-\frac{9}{8}-(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})}$$
$${=\frac{3}{12}}$$
$${=\dfrac{1}{4}}$$

(2)
(1)で描いたグラフより, 閉区間$${[a,a+1]}$$は「①から④のいずれか単一の区間に属する」か「隣り合う2つの区間にまたがる」かのいずれかである.

A: いずれか単一の区間に属する場合
(i) ①のみに属する場合, すなわち$${a\le{-2}}$$の場合
$${f(a)=\int_a^{a+1}(x^2-1)dx-\int_a^{a+1}(-x-1)dx}$$
$${=\int_a^{a+1}(x^2+x)dx}$$
$${=\Big[{\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2}\Big]_a^{a+1}}$$
$${=\frac{1}{3}(a+1)^3+\frac{1}{2}(a+1)^2-\frac{1}{3}a^3-\frac{1}{2}a^2}$$
$${=a^2+2a+\frac{5}{6}}$$
(ii) ②のみに属する場合, すなわち$${a=-1}$$の場合
$${f(a)=\int_{-1}^{0}(-x^2+1)dx-\int_{-1}^{0}(x+1)dx}$$
$${=\int_{-1}^{0}(-x^2-x)dx}$$
$${=\Big[{-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2}\Big]_{-1}^{0}}$$
$${=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$$
$${=\frac{1}{6}}$$
(iii) ③のみに属する場合, すなわち$${a=0}$$の場合
$${f(a)=\int_{0}^{1}(-x^2+1)dx-\int_{0}^{1}(-x+1)dx}$$
$${=\int_{0}^{1}(-x^2+x)dx}$$
$${=\Big[{-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2}\Big]_{0}^{1}}$$
$${=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$$
$${=\frac{1}{6}}$$
(iv) ④のみに属する場合, すなわち$${1\le{a}}$$の場合
$${f(a)=\int_a^{a+1}(x^2-1)dx-\int_a^{a+1}(x-1)dx}$$
$${=\int_a^{a+1}(x^2-x)dx}$$
$${=\Big[{\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2}\Big]_a^{a+1}}$$
$${=\frac{1}{3}(a+1)^3-\frac{1}{2}(a+1)^2-\frac{1}{3}a^3+\frac{1}{2}a^2}$$
$${=a^2-\frac{1}{6}}$$
B: 隣り合う2つの区間にまたがる場合
(i) ①②に属する場合, すなわち$${-2\lt{a}\lt{-1}}$$のとき
$${f(a)=\int_{a}^{-1}(x^2-1)dx+\int_{-1}^{a+1}(-x^2+1)dx-\int{a}^{-1}(-x-1)dx-\int_{-1}^{a+1}(x+1)dx}$$
$${=\int_{a}^{-1}(x^2+x)+\int_{-1}^{a+1}(-x^2-x)dx}$$
$${=\Big[{\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2}\Big]_{a}^{-1}+\Big[{-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2}\Big]_{-1}^{a+1}}$$
$${=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}a^3-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{3}(a+1)^3-\frac{1}{2}(a+1)^2+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}$$
$${=-\frac{2}{3}a^3-2a^2-2a-\frac{1}{2}}$$
この式に$${a=-1}$$を代入すると, $${f(-1)=\frac{1}{6}}$$で, A(ii)の$${a=-1}$$の場合と一致する.
また, この式に$${a=-2}$$を代入すると, $${f(-2)=\frac{5}{6}}$$で, A(i)の$${a=-2}$$の場合の式に$${a=-2}$$を代入した場合と一致する.
よって, $${-2\le{a}\le{-1}}$$の場合に$${f(a)= -\frac{2}{3}a^3-2a^2-2a-\frac{1}{2}}$$としてよい.
(ii) ②③に属する場合, すなわち$${-1\lt{a}\lt{0}}$$のとき
$${f(a)=\int_{a}^{0}(-x^2+1)dx+\int_{0}^{a+1}(-x^2+1)dx-\int{a}^{0}(x+1)dx-\int_{0}^{a+1}(-x+1)dx}$$
$${=\int_{a}^{0}(-x^2-x)+\int_{0}^{a+1}(-x^2+x)dx}$$
$${=\Big[{-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2}\Big]_{a}^{0}+\Big[{-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2}\Big]_{0}^{a+1}}$$
$${=\frac{1}{3}a^3+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{3}(a+1)^3+\frac{1}{2}(a+1)^2}$$
$${=\frac{1}{6}}$$
これはA(ii)およびA(iii)の$${a=-1,0}$$の場合と一致するから,
$${-1\lt{a}\lt{0}}$$の場合に$${f(a)=\frac{1}{6}}$$としてよい.
(iii) ③④に属する場合, すなわち$${0\lt{a}\lt{1}}$$のとき
$${f(a)=\int_{a}^{1}(-x^2+1)dx+\int_{1}^{a+1}(x^2-1)dx-\int{a}^{1}(-x+1)dx-\int_{1}^{a+1}(x-1)dx}$$
$${=\int_{a}^{1}(-x^2+x)+\int_{1}^{a+1}(x^2-x)dx}$$
$${=\Big[{-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2}\Big]_{a}^{1}+\Big[{\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2}\Big]_{1}^{a+1}}$$
$${=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}a^3-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3}(a+1)^3-\frac{1}{2}(a+1)^2-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$$
$${=\frac{2}{3}a^3+\frac{1}{6}}$$
この式に$${a=0}$$を代入すると, これはA(iii)の$${a=0}$$のときの値と一致し,
$${a=1}$$を代入すると, A(iv)の$${a=1}$$のときの値と一致するから,
$${0\le{a}\le{1}}$$のとき$${\frac{2}{3}a^3+\frac{1}{6}}$$としてよい.

以上より, $${f(a)}$$は
$${a\le{-2}}$$のとき$${f(a)=a^2+2a+\dfrac{5}{6}}$$
$${-2\le{a}\le{-1}}$$のとき$${f(a)=-\dfrac{2}{3}a^3-2a^2-2a-\dfrac{1}{2}}$$
$${-1\le{a}\le{0}}$$のとき$${f(a)=\dfrac{1}{6}}$$
$${0\le{a}\le{1}}$$のとき$${f(a)=\dfrac{2}{3}a^3+\dfrac{1}{6}}$$
$${1\le{a}}$$のとき$${f(a)=a^2-\dfrac{1}{6}}$$

(3)
$${0\le{a}\le{1}}$$のとき$${f(a)=\frac{2}{3}a^3+\dfrac{1}{6}}$$だから,
$${a\ge{0}}$$より, この区間では単調増加である.
$${1\le{a}}$$のとき$${f(a)=a^2-\frac{1}{6}}$$だから
$${a\ge{0}}$$より, この区間では単調減少である.
よって, $${a\ge{0}}$$の範囲で$${f(a)}$$は単調増加であるから,
$${a\ge{0}}$$での最小値は$${f(0)=\frac{1}{6}}$$である,
$${a\le{-2}}$$のとき$${f(a)=a^2+2a+\frac{5}{6}}$$で,
$${a^2+2a+\frac{5}{6}=(a+1)^2-\frac{1}{6}}$$だから, $${a\le{0}}$$において単調減少ゆえ, この区間では単調減少である.
$${-2\le{a}\le{-1}}$$のとき$${f(a)=-\frac{2}{3}a^3-2a^2-2a-\frac{1}{2}}$$で,
これを微分すると$${f^{\prime}(a)=-2a^2-4a-2=-2(a+1)^2\le{0}}$$だから,
この区間で傾き負, すなわち単調減少である.
よって, $${a\le{-1}}$$の範囲で$${f(a)}$$は単調減少であるから,
$${a\le{-1}}$$での最小値は$${f(-1)=\frac{1}{6}}$$
$${-1\le{a}\le{0}}$$のとき$${f(a)=\frac{1}{6}}$$だから, この区間において$${f(a)}$$は一定値をとる.
以上より, $${f(a)}$$の最小値は$${\dfrac{1}{6}}$$である.