2022年 東京海洋大学 前期 海洋工 大問1

$${0\le{\theta}\lt{2\pi}}$$を満たす$${\theta}$$に対して、
$${O}$$を原点とする座標平面上に2点$${A(1+\cos{\theta},\sin{\theta}),B(2\cos{2\theta},2\sin{2\theta})}$$をとる
(1) $${\theta}$$が$${0\le{\theta}\lt{2\pi}}$$を動くとき、$${A}$$の軌跡を求めよ
(2) 線分$${OA}$$の長さを$${\cos{\frac{\theta}{2}}}$$を用いて表せ
(3) $${0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}}$$のとき, $${\triangle{AOB}}$$の面積$${S}$$を$${\theta}$$を用いて表せ
(4) (3)のとき、$${S=2\sin{\theta}}$$となる$${\theta}$$の値を求めよ

解答
(1)
$${x=1+\cos{\theta}, y=\sin{\theta}}$$とおくと
$${x^2=1+2\cos{\theta}+\cos^2{\theta}, 2x=2+2\cos{\theta}}$$
$${\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}=1-y^2}$$だから
$${x^2=2x-1+1-y^2 \Leftrightarrow (x-1)^2+y^2=1}$$
よって, 求める軌跡は
点$${(1,0)}$$を中心とした, 半径$${1}$$の円である.

(2)
$${OA=\sqrt{(1+\cos{\theta})^2+\sin^2{\theta}}}$$
$${=\sqrt{1+2\cos{\theta}+\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}}}$$
$${=\sqrt{2+2\cos{\theta}}}$$
$${=\sqrt{2+2(2\cos^2{\frac{\theta}{2}}-1)}}$$
$${=\sqrt{4\cos^2{\frac{\theta}{2}}}}$$
ここで, $${0\le{\theta}\lt{2\pi}}$$より, $${0\le{\frac{\theta}{2}}\lt{\pi}}$$だから
$${-1\lt{\cos{\frac{\theta}{2}}}\le{1}}$$なので
$${OA=2\Big|\cos{\dfrac{\theta}{2}}\Big|}$$

(3)
$${\triangle{AOB}}$$について, $${O(0,0),A(1+\cos{\theta},\sin{\theta}),B(2\cos{2\theta},2\sin{2\theta})}$$だから,
$${S=\frac{1}{2}|(1+\cos{\theta})2\sin{2\theta}-\sin{\theta}2\cos{2\theta}|}$$
$${=\frac{1}{2}|2\sin{2\theta}+2\sin{2\theta}\cos{\theta}-2\sin{\theta}\cos{2\theta}|}$$
$${=\frac{1}{2}|2\sin{2\theta}+\sin{3\theta}+\sin{\theta}-(\sin{3\theta}-\sin{\theta})|}$$
$${=\frac{1}{2}|2\sin{2\theta}+2\sin{\theta}|}$$
$${=|\sin{2\theta}+\sin{\theta}|}$$
ここで, $${0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}}$$のとき$${\sin{2\theta}, \sin{\theta}}$$はともに正であるから
$${S=\sin{2\theta}+\sin{\theta}}$$

(4)
(3)より, $${\sin{2\theta}+\sin{\theta}=2\sin{\theta}}$$
$${\Leftrightarrow \sin{2\theta}-\sin{\theta}=0}$$
$${\Leftrightarrow 2\sin{\theta}\cos{\theta}-\sin{\theta}=0}$$
$${\Leftrightarrow \sin{\theta}(2\cos{\theta}-1)=0}$$
(3)の範囲において, $${\sin{\theta}=0}$$となることはないから,
上記の式を満たすのは$${2\cos{\theta}-1=0}$$, すなわち$${\cos{\theta}=\frac{1}{2}}$$のときである.
$${0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}}$$より, $${\theta=\dfrac{\pi}{3}}$$である.