2022年 広島大学 前期 経済 大問1

正の整数$${N}$$に対し, $${N}$$を7進法で表したときの数字の並びを10進法で表された数だと思って読み取った値を$${M}$$とする. 例えば, $${N=7}$$のとき, $${N}$$は7進法で$${10_{(7)}}$$と表されるので$${M=10}$$である. このとき, 次の問いに答えよ.
(1) $${M=100}$$のとき$${N}$$の値を求めよ. また, $${N=100}$$のとき$${M}$$の値を求めよ.
(2) $${N}$$は7進法では3桁で表され, 10進法では2桁で表されるとする. $${2N=M}$$が成り立つとき, $${N}$$の値を求めよ.
(3) 7進法で3桁で表される$${N}$$のうちで, $${2N=M}$$が成り立つ最大のものを求めよ.
(4) $${N}$$は7進法で4桁で表されるとする. このとき, $${2N\lt{M}}$$となることを示せ.

解答
(1)
$${M=100}$$のとき, $${N=7^2=49}$$
$${N=100}$$のとき, $${100=7^2\times{2}+7\times{0}+2}$$だから$${M=202}$$

(2)
$${N}$$は7進法で3桁で表されるから$${N=49a+7b+c}$$とおける.
ここで$${a,b,c}$$は$${0}$$から$${6}$$の整数で, $${a\not=0}$$である.
これを10進法で読むと$${M=100a+10b+c}$$である.
$${2N=M}$$より$${98a+14b+2c=100a+10b+c}$$だから, これを整理して
$${2a=4b+c}$$である.
また, $${N}$$は10進法で2桁の整数だから$${10\le{N}=49a+7b+c\le{99}}$$より,
$${a=1,2}$$に限られる.

$${a=1}$$のとき
$${2=4b+c}$$を満たす$${(b,c)}$$の組は$${(b,c)=(0,2)}$$のみである.
このとき$${N=49+2=51}$$となり, これは7進法で$${102_{(7)}}$$であり,10進法で 2桁だから条件を満たす.
$${a=2}$$のとき
$${4=4b+c}$$を満たす$${(b,c)}$$の組は$${(b,c)=(0,4),(1,0)}$$である.
いずれの場合も$${N=98+2=102}$$となるが, これは10進法で3桁だから条件を満たさない.
以上より, 求める$${N}$$は$${N=51}$$である.

(3)
7進法で3桁で表される最大の数は$${666_{(7)}=49\times{6}+7\times{6}+6=342}$$なので, $${100\le{N}\le{342}}$$で考える.
(2)と同様に考えて$${N=49a+7b+c}$$とおく.
いま求めるものは最大のものなので, $${a=6}$$として条件を満たすものを考える.
$${a=6}$$のとき, $${12=4b+c}$$より
$${(b,c)=(1,8),(2,4),(3,0)}$$である.
ここで, それぞれに対して$${N=49a+7b+c}$$を考えることになるが, それぞれ
$${7b+c=15,18,21}$$となるから, 最大となるのは$${(b,c)=(3,0)}$$のときであることがわかる.
よって求める$${N}$$は, $${630_{(7)}}$$すなわち
$${N=49\times{6}+7\times{3}+0=315}$$である.

(4)
7進法で4桁の数字を(2)と同様の考え方で表すと$${N=343a+49b+7c+d}$$となる.
ここで$${a,b,c,d}$$は$${0}$$から$${6}$$の整数で, $${a\not=0}$$である.
このとき, $${M=1000a+100b+10c+d}$$だから
$${M-2N=314a+2b-4c-d}$$となる.
$${a,b,c,d}$$の範囲から, $${314a\ge{314}, 2b-4c-d\ge{-24-6}=-30}$$なので
$${M-2N\ge{284}\gt{0}}$$がいえる.
したがって, $${M\gt{2N}}$$である.