sec(x)のm乗の積分の簡約公式を導く

一般的な理系大学生は解けるか解けないかのギリギリの積分を演習で出されているように感じた。

そんな中で基本的には多項式で表されているものも三角関数を縦横無尽に使いこなすことですっきりとした積分ができる(それを意図して作問しているのだろうが・・・)

今回はnoteでの数式をあげる練習もかねてタイトルの公式を導いていく。
実際、正割(secant)は表記として多少便利なだけで現実問題として筆者はあまり使うことがないので何の役にも立たないかもしれないが、検索エンジンに引っかからなかったので投稿するに至った。

ちなみにこのような公式......

以下、導出

として

よって

onenoteに数式打ち込んで貼り付けただけなので
見づらいかも。。。

この公式はm>=3のとき用いれるものだが、
m=2のときは単にtan(x)になるのでわかりやすい。

ただシンプルにsec(x)を積分しようものならlog(tan(x)+sec(x))みたいな感じになってしんどい。。。(sec(x)=1/cos(x)なので高校生でも解ける問題。ヨビノリさんも今週の積分で出していた。たしか星は5。)

今後も面白い積分公式とうあれば載せていきたい。