有理数列が整数値をとるタイミング

今日は、ただ理由もなく気に入っている問題をご紹介。出典は大学入試問題、2018年度東京大学理系第2問です。

問題

解答

なお n ≧ 4 で a[n] / a[n-1] < 1を満たすので、この数列は n = 3 で最大値を取ったあとは単調減少します。さらに a[n] を計算していくことで n = 8 でついに1未満になってしまうこともわかります。なので、実際には a[1], a[2], ..., a[8]をすべて書き下すことで、結局 n = 1, 2 の時に限り整数になるという示し方も実はあります。よい計算練習になるかも。