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「大学一年生の数学」第5週:広義積分

梅崎直也

今週は一変数関数の広義積分を扱いました。広義積分がどう使われるのか、また簡単な計算例や収束判定について紹介しました。

火曜日は広義積分とは何かということから初めて、広義積分の使われ方をいくつか紹介しました。正規分布などの確率分布、フーリエ変換などの積分変換、ガンマ関数などの特殊関数を例に出しています。積分が「足し算」のようなものだとみれるという考え方から、全部足すという意味で広義積分が重要であるということをお話ししました。


水曜日は広義積分の簡単な計算例を紹介しました。収束する場合や発散する場合、不定積分を直接計算して極限を計算することで計算できる例を紹介しています。この計算例は広義積分の収束判定に用いられるもので、木曜日の動画でもこの計算結果を使っています。


木曜日は不定積分の極限として直接計算できない広義積分の例としてベータ関数を紹介しました。優関数による収束判定の考え方を紹介し、そこに実数の完備性やコーシー列という概念が関係してくることを紹介しました。実際の計算においては、前日の計算結果を優関数として用いることができます。


金曜日は積分と三角関数の関係についてお話ししました。高校の数学でも現れる三角関数を用いた置換積分で計算できる広義積分を紹介し、逆三角関数についてお話ししました。この積分が広義積分になる理由を円弧の長さと結びつけることができるということに触れました。


今週の内容は以上です。次週は線形代数のお話で平面上のベクトルの線形変換のお話をしようと思います。何か質問やリクエストなどありましたら、twitterまたはマシュマロなどにお気軽にお寄せください。



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