見出し画像
Photo by yokoichi

「大学一年生の数学」第2週:基本的な微分方程式

梅崎直也

今週は微分方程式の話を中心に扱いました。各動画の内容の紹介と、20倍速にした動画、Youtubeへのリンクです。

火曜日はロジスティック方程式について。変数分離系の微分方程式ですが、両辺を割る時に0になるところに注意が必要です。特に「関数のxの値x(t)が0でない」というのはやや曖昧で、「全てのtについてx(t)が0でない」なのか「あるtについて（または特定のtについて）x(t)が0でない」なのかで話が変わってきます。今回はひとまず全てのtについて0<x(t)<1という条件の下で方程式を解きました。


水曜日は単振動の方程式についてです。バネの運動などを記述する単振動の運動方程式ですが、基本的でありながら非常に重要な微分方程式です。今回は三角関数が解になることをまず確かめました。また、解の和が解になることを説明しました。これは線型な微分方程式の特徴です。


木曜日も引き続き単振動の方程式についてです。指数関数の範囲で解を探すと複素数が出てくることを紹介しました。いわゆるオイラーの公式に関係してきます。また、後半では微分作用素という概念を紹介しました。


金曜日も引き続き単振動の方程式についてです。方程式が微分作用素を用いて記述できることを紹介し、この微分作用素が線形性を持つことを説明しました。また、このことから解の和と定数倍がまた解になることを導きました。動画では説明していませんが、結論としてはこの微分方程式の解全体がベクトル空間になります。


今週は微分方程式について扱いましたが、後半では特に微分作用素とその線形性について中心に説明しました。このあたりの考察を踏まえて、今後は線形代数的な話に入っていこうと思います。

来週も平日の13時から30分程度放送していこうと思います。内容についての疑問、コメントや誤りの指摘などは常に受け付けていますし、そういったものをいただければ非常にありがたく思いますので遠慮なくお寄せください。気になったこと、質問、リクエストなども遠慮なくどうぞ。動画のコメント欄、ツイッターでのリプライやDM、メール、直接口頭で、マシュマロなどいかなる手段でお伝えいただいても構いません。

サポートいただけましたら、書籍などの購入費用にあてたいと思います。学んだ内容はいろいろな形で還元していきます。よろしくお願いいたします。