乗法公式を使いこなそう①概要

中学３年で習う乗法公式を覚えていますか？
乗法公式は、
$${(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$$
$${ (x+a)^2=x^2+2ax+a^2}$$
$${ (x-a)^2=x^2-2ax+a^2}$$
$${ (x+a)(x-a)=x^2-a^2}$$
となります。
これらは重要です。
乗法公式は覚えてる・使えるではなく、できる限り高いレベルで使いこなせるようになる必要があります。
今回は、乗法公式を使いこなせるようになるため、基本的なことから書いていきます。
以下では、
$${ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$$
$${ (x+a)^2=x^2+2ax+a^2}$$
$${ (x-a)^2=x^2-2ax+a^2}$$
$${ (x+a)(x-a)=x^2-a^2}$$
を基本形の乗法公式と呼びます。

概要

基本形の乗法公式を使う問題には、
$${ (x+2)(x-3)=x^2-x-6}$$
のような展開、
$${ x^2-x-6=(x+2)(x-3)}$$
のような因数分解があります。
どちらも、よく使う計算です。
基本形の乗法公式を利用する問題では、できる限り速く計算できるようになる必要があります。
以下では、基本形の乗法公式を使った計算について、展開と因数分解のことを書きます。

展開

では展開で、
$${ (-x+2)(x-3)}$$
$${ (-x+5)^2}$$
$${ (-x+6)(-x-6)}$$
の計算をできますか？
これらの計算の答えは、
$${ (-x+2)(x-3)=-x^2+5x-6}$$
$${ (-x+5)^2=x^2-10x+25}$$
$${ (-x+6)(-x-6)=x^2-36}$$
となります。
これらのような$${ x}$$の符号にマイナスが含まれるとき、基本形の乗法公式を利用して計算することを考えてみましょう。

以下では、
$${ (-x+2)(x-3)}$$
$${ (-x+5)^2}$$
$${ (-x+6)(-x-6)}$$
のような、$${ x}$$の符号がマイナスとなる展開の計算を応用形の展開と呼びます。
数学が苦手な場合は応用形の展開を、基本形の乗法公式を使わないで計算するかもしれません。
しかし、基本形の乗法公式を利用して、計算ができます。

展開では、まず基本形の乗法公式のよくある覚え方について書きます。
次に、応用形の展開をどのようにして、基本形の乗法公式を利用して計算ができるようになるかについて書きます。

因数分解

では因数分解で、
$${x^2+5x+6}$$
$${x^2-6x+9}$$
$${x^2-49}$$
$${x^3+3x^2-4x}$$
$${25x^2-20x+4}$$
の計算をできますか？
最初の３問の答えは、
$${x^2+5x+6=(x+2)(x+3)}$$
$${x^2-6x+9=(x-3)^2}$$
$${x^2-49=(x+7)(x-7)}$$
となります。
これらは基本的な内容なので、必ずできるようになりましょう。
これらの因数分解の計算をするとき、どの基本形の乗法公式を使うことができるか、わかりますか？
基本形の乗法公式は、２種類の理由で分類できます。
この分類により、どの基本形の乗法公式を使って因数分解ができるか、わかりやすくなります。

残りの２問の答えは、
$${x^3+3x^2-4x=x(x-1)(x+4)}$$
$${25x^2-20x+4=(5x-2)^2}$$
となります。
これらは、最初に習う因数分解の中では応用問題となりますが、できなければならない内容です。
これらは、因数分解の手順と考え方がわかれば、できるようになります。

因数分解では、まず基本形の乗法公式の分類について書きます。
次に、因数分解の手順と考え方について書きます。

まとめ

今回は基本形の乗法公式について、展開と因数分解のことを書いていきます。
この「乗法公式を使いこなそう」を読めば、展開については基本形の乗法公式を使って解けるパターンが増え、速く計算ができるようになると思います。
また因数分解については、解きやすくなると思います。
すでにわかっているような、簡単な内容もあると思いますが、特に応用形の展開と基本形の乗法公式の分類については読んでいただきたいと思います。

訂正

2023年1月13日に、この記事を投稿しましたが、ミスがあったため、2023年1月17日に訂正し再投稿しました。

訂正内容

因数分解について書いているところで、
因数分解の計算をするとき、どの基本形の乗法公式を使うことができるか、すぐにわかりますか？
と書いてあったところで、すぐにを削除しました。
また、
この分類により、どの基本形の乗法公式を使って因数分解ができるか、すぐにわかるようになります。
と書いてあったところで、わかりやすくなりますと修正しました。

現在、分類について書いている途中でミスに気づき、修正をしました。