世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑥微分の計算方法(1)

微分・積分を使うと、それぞれかなり小さな変化・いろいろな面積を求めることができます。
また微分・積分はグラフで考える、横幅をゼロに限りなく近づけると考えるという考え方を使います。
微分でこれらの考え方を使い、どのようにしてかなり小さな変化を求めるのかについて書きます。
具体的に、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の微分ができるようになることを最終目標とします。
このため今回は、今後の解説のために使う数学の用語を解説します。
また中二を対象としているため、今後の解説のために使う中三で学ぶ内容の解説もします。

以下ではグラフを使います。
ここでは横軸を$${ x}$$、縦軸を$${ y}$$とします。

今回の内容は、すでに理解している場合は読み飛ばして良いと思います。
目次を参考に、各自わからない場合は読んでいただければと思います。

数学用語

ここでは、この後に使用する項、多項式、係数、定数と変数について解説をします。
これらの解説のため、
$${ 2x^3-3x^2+4x-5}$$
について考えます。

項

次の式、
$${ 2x^3-3x^2+4x-5}$$
について考えます。
この式で、プラスまたはマイナスで区切ると、
$${ 2x^3,-3x^2,4x,-5}$$
となります。
これら１つ１つを項と言います。

多項式

次の式、
$${ 2x^3-3x^2+4x-5}$$
は項に分けると、
$${ 2x^3,-3x^2,4x,-5}$$
となります。
これら複数の項を足した、
$${ 2x^3-3x^2+4x-5}$$
のような式を多項式と言います。

係数

次の式、
$${ 2x^3-3x^2+4x-5}$$
の１つの項、
$${ 2x^3}$$
を考えます。
これは、
数字$${ \times}$$文字
という形になっています。
このとき、数字の部分を係数と言います。
しかし、数字だけではなく文字が係数となる場合があります。
次の、
$${ ax}$$
の場合を考えてみましょう。
これは、
文字$${ \times}$$文字
という形になっています。
ここで$${ x}$$に注目してみると、
$${ ax}$$
は、
$${ x}$$以外の文字$${ \times x}$$
という形になっています。
このとき、$${ x}$$以外の部分も係数と言います。
つまり、
$${ ax}$$
の場合、$${ x}$$の係数は$${ a}$$と言います。
特に複数の文字がある場合、注目する文字に対し$${ x}$$の係数はというように言います。
係数は１つの項を考えたとき、ある文字に注目した場合の注目した文字以外となります。

定数と変数

微分の計算では、変数と定数を区別することが重要になります。
ここでは、変数・定数について解説します。
変数・定数を文字通り考えてみましょう。
変数とは変化する数のことで、定数とは一定の数のことです。
これら定数と変数は、両方ともよく文字を使って表すので見た目は同じです。
しかし、定数と変数では大きく違います。
ある状況を考えたとき、定数は一度ある数に決めると、そのままの数字になります。
変数はいろいろな数に変化させたいものです。
これらの違いを$${ a}$$を定数として、
$${y=ax}$$
のグラフを書く場合で考えてみましょう。
このグラフは、

の黒線のようになります。
基本的には、変数はグラフの縦軸か横軸のこと、定数はこれら以外と考えれば良いでしょう。

中三の内容

微分の解説のため、中三で学ぶ内容も扱います。
今回は、多項式の掛け算と二次関数を少し扱うため、これらの解説をします。
ここでの解説は、中三で学ぶ内容の一部で、今後の解説の理解ができる範囲の内容とします。

多項式の掛け算

ここでは、
$${ (a+b)(c+d)}$$
の計算方法を解説します。
まず、
$${ 2(3x+4)}$$
の計算方法を解説します。
これは分配法則を使って、
$${ 2(3x+4)=2 \times 3x+2 \times 4=6x+8}$$
と計算します。
次に、
$${ (x+2)(3x+4)}$$
の計算を考えてみましょう。
この計算をするため、
$${ A=x+2}$$
とすると、
$${ (x+2)(3x+4)=A(3x+4)}$$
となります。
これは、
$${ 2(3x+4)=2 \times 3x+2 \times 4=6x+8}$$
と同じように、分配法則を使って、
$${ A(3x+4)=A \times 3x+A \times 4=3xA+4A}$$
となります。
この式で、
$${ A=x+2}$$
なので、
$${ 3xA+4A=3x(x+2)+4(x+2)}$$
となり、また分配法則を使って、
$${ 3x(x+2)+4(x+2)}$$
$${=3x \times x+3x \times 2+4 \times x+4 \times 2}$$
$${=3x^2+6x+4x+8}$$
$${=3x^2+10x+8}$$
となります。
これらより、
$${ (x+2)(3x+4)=3x^2+10x+8}$$
となります。
次の、
$${ (a+b)(c+d)}$$
を同じように計算すると、
$${ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}$$
となります。

二次関数

次の、
$${ y=2x^2}$$
のグラフを書いてみましょう。
グラフを書くため、
$${ x=-2,-1,0,1,2}$$
のときの$${ y}$$の値を求めてみましょう。
$${ x=-2,-1,0,1,2}$$を$${ y=2x^2}$$に代入すると、
$${ y=8,2,0,2,8}$$
となります。
つまり$${ y=2x^2}$$は、
$${ (-2,8),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,8)}$$
の座標を通るグラフとなります。
これらの座標を書くと、

となります。
これらの座標を通るグラフを書くと、

となります。
また、$${ y=-2x^2}$$のグラフを同じようにして書くと、

のようになります。
このグラフの形は、ボールを斜め上の方向に投げたときの軌道と同じになります。
このことから$${ y=2x^2,y=-2x^2}$$のような式のグラフを、放物線と呼びます。

まとめ

今回は、この後に使用する数学用語として項、多項式、係数、定数と変数について解説をしました。
また、中三で学ぶ内容として、多項式の掛け算と二次関数について解説をしました。
今後は、これらの内容はわかっているものとして解説をしていきます。
もし、わからなければここを読み直してみてください。