１（深掘）ペアノの公理

ペアノの公理（Peano axioms）により自然数のルールを定める。
１からスタートして、自然数ｎとその次の自然数をｎ´決めていきます。
自然数の集合をℕと表記しておきます。
アプローチの仕方は様々あり、正確さやニュアンスに差はあれど直観的に理解しやすい表記で記載します。（０からスタートする方法もあり）

１．１は自然数である（１∈ℕ）
２．ｎが自然数なら、その次のｎ´も自然数（ｎ∈ℕ　s.t.　ｎ´∈ℕ）
３．ｎの次の自然数ｎ´は１ではない（ｎ∈ℕ　s.t.　ｎ´≠１）
４．ｎ´とｍ´が等しければ、ｎとｍは等しい
　　（ｎ，ｍ∈ℕ　ｎ´＝ｍ´　s.t.　ｎ＝ｍ）
５．集合Mについて、１∈M,　ｎ∈Ｍ　であり、ｎ´∈Ｍならば　M＝ℕ

要するに、１からスタートして、１の次には１´という自然数がある。そのつぎには１´´という次の自然数がある。それを永遠と繰り返していくことで自然数の元が生成されるという数学的帰納法を用いた決め方となります。

なお、上記の１´ ⇒ ２と表記し、１´´ ⇒ ３と表記しています。
１の次の自然数１´を１＋１と表したものが足し算です。
これは１＋１＝２の証明をするというより、単純に説明と言った方が分かると思います。