環論入門part1 環の定義と零環

※part2を投稿するかどうかはわかりません
※間違いがあれば教えてください。

※群論入門シリーズで定義された概念等は既知であるとします

1.1.環の定義

定義１
集合RとR上の閉じた演算+,×に対し、以下の条件が成り立つときRを環と呼ぶ。
(i)Rは+に関してアーベル群である。
(ii)Rは×に関して結合法則が成り立つ。
(iii)R上の任意の元rに対し、r×1=1×r=rを満たす1∈Rが存在する。
（この1を×の単位元と呼ぶ）
(iv)Rは+,×に関して分配法則が成り立つ。すなわち、任意の元r,s,t∈Rに対し、r×(s+t)=r×s+r×t, (r+s)×t=r×t+s×tが成り立つ。

Rem
+についての単位元は普通、0と表されることが多く、a∈Rの逆元を－aと表される。また、×についてのa∈Rの逆元はa⁻¹と表されることが多い。

Rem
一般に、×は省略されることが多い。つまり、a,b∈Rについてa×bをabと書かれる。これ以降の記事でも省略して表記する場合もある。

命題１
環Rと任意の元r∈R、+の単位元0に対し、r×0=0×r=0が成り立つ。

証明
この記事の補題を参照

命題２
環Rと任意の元r∈R、×の単位元1の+に関する逆元を－1とすると、
r×(－1)=(－1)×r=－rが成り立つ。ただし、－rは元rの+に関する逆元である。

証明
r×(－1)=－rの場合のみを示す。
r+r×(－1)=r×1+r×(－1)=r×(1+(－1))=r×0=0より、r×(－1)はrの+に関する逆元となる。▢

命題３
(－1)×(－1)=1が成り立つ。

証明
以下の記事を参照。▢

命題３の系
環Rと元a,b∈Rに対し、a,bの+に関する逆元を－a,－bとすれば、
(－a)×(－b)=a×bが成り立つ。

証明
命題１から(－a)=a×(－1), (－b)=(－1)×bが成り立つため、命題３を踏まえると、
(－a)×(－b)=a×(－1)×(－1)×b=a×1×b=a×b  ▢

追記（2021/09/25 5:07p.m.)
以降の記事では、a×bをabのように、乗法×を省略して書くこともある。

1.2.零環

例１
R={0}は加法+, 乗法×について群をなす。このとき、0は+の単位元であり×の単位元でもある。（このことを「0=1」と表現することもある）この環を零環、または自明な環と呼ぶ。

Rem
零環の性質の対偶をとれば、次のことが言える；
環Rに対し、+の単位元を0, ×の単位元を1とすれば、
「0≠1⇒Rは零環ではない」が成り立つ。

命題４
上のRemの逆が成り立つ。すなわち、「Rが零環ではない⇒0≠1」が成り立つ。

証明
命題４の主張の対偶「0=1⇒Rは零環である」が成り立つことを示す。
1の定義から、任意の元r∈Rに対しr×1=r。また、命題１からr×0=0。以上から0=1よりr×0=r×1が成り立つため、
r=r×1=r×0=0。よって、R={0}だとわかる。▢

Rem
以上から「0≠1⇔Rは零環ではない」がいえる。以降の記事では、環Rは0≠1であるという前提のもと議論を進める。

以上

追記
part2を投稿しました。環論で基礎的かつ重要な概念、イデアル、部分環、整域についてです。