数列３（数列の和、Σ、階差数列）

誤植があったらコメントにお願いします。

０．前回まで

１．今回紹介する公式一覧

・この記事では下の公式の導出を行っていくが、公式自体は入試までは暗記しておいて損はない。

$$
\begin{align*}
&\displaystyle\sum_{k=1}^n r=nr \\
&\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\dfrac{1}{2}n(n+1) \\
&\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
&\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\Big(\dfrac{1}{2}n(n+1)\Big)^2 \\
&\displaystyle\sum_{k=1}^n ar^{k-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \ (r \neq 0,1)\\
&S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \text{とすると}a_n=S_{n+1}-S_n \ (n \geq 2)\\
&\text{数列}\{a_n\} \text{の階差数列を}\{b_n\}\text{とすると}\\
&a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k \ (n \geq 2)
\end{align*}
$$

２．数列の和

2.1.言葉の定義

・数列$${\{a_n\}}$$の第$${l}$$項から第$${m}$$項までの和を$${\displaystyle\sum_{k=l}^{m} a_k}$$や$${\displaystyle\sum_{i=l}^{m} a_i}$$と表す。

・このとき$${k}$$や$${i}$$は束縛変数とよんで、その文脈の前後で使われていない文字なら何を使ってもよい
・高校数学では$${k,n}$$、大学数学では$${i,j,k,\cdots}$$、解析学や物理学では$${j,k,l,\cdots}$$が束縛変数として使われる傾向にある。

・数列の和の話に戻る。初項から第$${n}$$項までの和を$${S_n}$$と表すことが多い。

問１：次を$${\sum}$$を用いて表せ。ただし計算はしなくてよい。
(1) 1から100までの自然数の和
(2) 2から100までの偶数の和
(3) 1から97までの、6で割ると1余る整数の和

2.2.基本的な性質

・以下、初項から第$${n}$$項までの和について考えるが、一般に第$${l}$$項から第$${m}$$項までの和でも同様に成立。

$$
\begin{align*}
&(1)\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k+\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k\\
&(2)\displaystyle\sum_{k=1}^n ra_k=r\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\\
&(3)\displaystyle\sum_{k=1}^n r =rn \\
&(4)\Bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\Bigg)\Bigg(\displaystyle\sum_{h=1}^m b_h\Bigg)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\sum_{h=1}^m a_k b_h
\end{align*}
$$

・(1)について

$$
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)&=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\cdots +(a_n+b_n) \\
&=a_1+a_2+\cdots a_n+b_1+b_2+\cdots b_n\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k+\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k\\
\end{align*}
$$

・(2)について

$$
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{k=1}^n ra_k &= ra_1+ra_2+\cdots +ra_n\\
&= r(a_1+a_2+\cdots +a_n) \ (\because \text{分配法則})\\
&=r\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k
\end{align*}
$$

・(3)について

$$
\displaystyle\sum_{k=1}^n r = \underbrace{r+r+\cdots+r}_{n\text{個}}=rn
$$

問２：(4)を示せ。

問３（シュワルツの不等式、(松坂和夫、集合位相入門、p139)）：
実数からなる数列$${\{a_n\},\{b_n\}}$$に対し、次が成り立つことを示せ。ただし、誘導に従って解いてもよい。

$$
\Bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k\Bigg)^2\leq\Bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k^2\Bigg)\Bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k^2\Bigg)
$$

(1)$${\displaystyle\sum_{k=1}^n(a_kx+b_k)^2}$$は$${x}$$の二次方程式であり、任意の実数$${x}$$に対し$${\displaystyle\sum_{k=1}^n(a_kx+b_k)^2\geq0}$$となることを示せ。
(2)二次方程式$${\displaystyle\sum_{k=1}^n(a_kx+b_k)^2}$$の判別式を求めよ。
(3)上の(1),(2)から$${\Bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k^2\Bigg)\Bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k^2\Bigg)-\Bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k\Bigg)^2\geq0}$$を示せ。

2.3.自然数列の和

・自然数列$${\{n\}}$$の和$${\displaystyle\sum_{k=1}^n k}$$について考える。
$${S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k=1+2+\cdots +(n-1)+n}$$とする

・このとき$${S_n=n+(n-1)+\cdots +2+1}$$とかけるので、

$$
\begin{align*}
S_n &= \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ 3\ \ \ \ \ +\cdots +(n-2)+(n-1)+\ \ \ \ \ n\\
+)S_n &=\ \ \ \ \ n\ \ \ \ \ +(n-1)+(n-2)+\cdots+\ \ \ \ \ 3\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ 1\\
\hline
2S_n &= (n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)\\
&=n(n+1)\\
S_n&=\frac{1}{2}n(n+1)
\end{align*}
$$

上の計算のイメージ

・以上から、$${\displaystyle\sum _{k=1}^n k=\bm{\dfrac{1}{2}n(n+1)}}$$が得られた。

問４：$${S_n=\dfrac{1}{2}n(n+1)}$$について、$${S_1=1,S_{n+1}=S_n+(n+1)}$$を示せ。

問５：問１の(1)から(3)を実際に計算せよ。

問６：1から102までの内、3の倍数であり6の倍数でない整数の和を求めよ。

2.4.２乗の和

・$${1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2+n^2}$$を考える。

・突然だが、整数$${k}$$に対して$${k^3-(k-1)^3}$$を考える。$${k^3-(k-1)^3=k^3-(k^3-3k^2+3k-1)=3k^2-3k+1}$$となるので、

$$
\begin{align*}
n^3&= \{n^3-(n-1)^3\}+\{(n-1)^3-(n-2)^3\}+\cdots+(2^3-1^3)+(1^3-0^3)\\
&= \displaystyle\sum_{k=1}^n \{k^3-(k-1)^3\}\\
&= \displaystyle\sum_{k=1}^n (3k^2-3k+1)\\
&= 3\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2-3\displaystyle\sum_{k=1}^n k+\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\\
&= 3\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2-\frac{3}{2}n(n+1)+n\\
3\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 &= n^3+\frac{3}{2}n(n+1)-n\\
&= \frac{1}{2}(2n^3+3n^2+n)\\
&= \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\\
\therefore \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 &= \bm{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}
\end{align*}
$$

・上の式は入試までは暗記すべきだと個人的には思う。

問７：次を計算せよ。
(1) 1から100までの自然数の2乗の和
(2) 1から100までで、平方根をとると整数になる自然数の和
(3) 2から100までの偶数の2乗の和
(4) 1から99までの奇数の2乗の和

2.5.３乗の和

・２乗の和と同様に３乗の和を求める。計算過程を記述するのは面倒なので、ざっくりと述べる。

・２乗の和と同様、$${k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1}$$を利用すると

$$
\begin{align*}
n^4 &= \displaystyle\sum_{k=1}^n \{k^4-(k-1)^4\}\\
&= 4\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3-6\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+4\displaystyle\sum_{k=1}^n k-\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\\
&= 4\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n\\
4\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 &= n^4+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n\\
\therefore \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 &= \bm{\Big\{\frac{1}{2}n(n+1)\Big\}^2}
\end{align*}
$$

問８：1から100までの自然数の3乗の和を求めよ。

問９：上と同様にして$${\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4}$$を計算せよ。

2.6.等比数列の和

・初項$${a}$$、公比$${r\neq0,1}$$の等比数列$${\{ar^{n-1}\}}$$の初項から第$${n}$$項までの和$${\displaystyle\sum_{k=1}^nar^{k-1}}$$を考える。

・$${S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^nar^{k-1}}$$とすると、

$$
\begin{align*}
S_n &= a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-2}+ar^{n-1}\\
-)\ \ \ rS_n &=\ \ \ \ \ \ \ ar+ar^2+\cdots +ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^n\\
\hline
(1-r)S_n &= a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -ar^n\\
S_n&=\bm{\frac{a(1-r^n)}{1-r}}
\end{align*}
$$

問１０：次を計算せよ。
(1) $${\displaystyle\sum_{k=1}^n=2^{k-1}}$$
(2) $${\displaystyle\sum_{k=1}^n=\dfrac{1}{2^k}}$$
(3) $${\displaystyle\sum_{k=1}^n=\dfrac{2^{k-1}+k^2}{3}}$$
(4) $${\displaystyle\sum_{k=3}^n=\dfrac{1}{2^{k-1}}}$$
(5) $${\displaystyle\sum_{k=m}^n=2\cdot3^{k-1}}$$、ただし$${m}$$は2以上の整数

問１１（重要）：$${\displaystyle\sum_{k=1}^nk2^{k-1}}$$を求めよ。ただし、下の誘導に従って解いてもよい。
(1) $${S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^nk2^{k-1}}$$とするとき、$${S_n,2S_n}$$を$${\sum}$$を使わない形で表せ。
(2) $${S_n-2S_n=1\cdot2^0+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^k-n2^n}$$を導け。
(3) $${S_n}$$を求めよ。

３．数列の和から一般項を求める

・数列$${\{a_n\}}$$の初項から第$${n}$$項までの和を$${S_n}$$とする。すなわち$${S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k}$$

・$${S_n}$$が与えられているとき、一般項$${a_n}$$を求める。
・$${S_n}$$を明示的に表すと$${S_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n}$$
・よって$${n\geq2}$$のとき
$${S_n-S_{n-1}=(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n)-(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})=a_n}$$
・また、$${n=1}$$のとき、$${S_1=a_1}$$
・以上から次が成立。

$$
a_n= \begin{cases}
S_1 &\text{if } n=1 \\
S_n-S_{n-1} &\text{if } n\geq2
\end{cases}
$$

・注意：$${n=1}$$と$${n\leq2}$$の場合に分けて考えなければならない。

・例題：数列$${\{a_n\}}$$の初項から第$${n}$$項までの和$${S_n}$$が$${S_n=(n+1)^2}$$で与えられているとき、$${a_n}$$を求めよ。
（解法）
$${n\geq2}$$のとき、$${a_n=S_n-S_{n-1}=(n+1)^2-n^2=2n+1}$$
$${n=1}$$のとき、$${a_1=S_1=(1+1)^2=4。よって

$$
a_n= \begin{cases}
4 &\text{if } n=1 \\
2n+1 &\text{if } n\geq2
\end{cases}
$$

・上の例題のように、$${n\geq2}$$の場合の一般項が$${n=1}$$の場合で当てはまるとは限らない。

問１２：数列$${\{a_n\}}$$の初項から第$${n}$$項までの和$${S_n}$$が次で与えられているとき、$${a_n}$$を求めよ。
(1)$${S_n=n^2}$$
(2)$${S_n=n^3+n^2+n+1}$$
(3)$${S_n=2^n}$$

問１３：数列$${\{a_n\}}$$の初項から第$${n}$$項までの和を$${S_n}$$とする。数列$${\{S_n\}}$$の漸化式が次で与えられているとき、$${a_n}$$を求めよ。
(1) $${S_1=1,S_{n+1}=S_n+(n+1)^2}$$
(2) $${S_1=1,S_{n+1}=2S_n+1}$$

４．階差数列

・数列$${\{a_n\}}$$が与えられているとき、$${b_n=a_{n+1}-a_n}$$で定められる数列$${\{b_n\}}$$を$${\{a_n\}}$$の階差数列という。

例：自然数列1,2,3,4,…の階差数列は1,1,1,…
例：等比数列1,2,4,8,16,…の階差数列は1,2,4,8,…

問１４：次の数列の階差数列を求めよ。
(1) 正の奇数からなる数列1,3,5,7,9,…
(2) 等比数列1, 3, 9, 27, 81, …
(3) 一般項が$${a_n=n^2}$$で表される数列$${\{a_n\}}$$

・階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める。
・数列$${\{a_n\}}$$の初項$${a}$$と階差数列$${\{b_n\}}$$の一般項が与えられているとき、$${n\geq2}$$の場合、

$$
\begin{align*}
a_n &= (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_2-a_1)+a_1\\
&= b_{n-1}+b_{n-2}+\cdots+b_1+a\\
&= a+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\end{align*}
$$

よって、まとめると、

$$
a_n= \begin{cases}
a &\text{if } n=1 \\
a+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k &\text{if } n\geq2
\end{cases}
$$

・注意：数列の和から元の数列の一般項を計算するときと同様、$${n\geq2}$$と$${n=1}$$の場合に分けて考える必要がある。

・例題：数列$${\{a_n\}}$$の初項が$${1}$$で階差数列$${\{b_n\}}$$が$${b_n=n}$$のとき、$${a_n}$$の一般項を求めよ。
（解法）
$${n\geq2}$$のとき、$${a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k=\dfrac{1}{2}n(n-1)+1}$$
$${n=1}$$のとき$${a_1=1}$$で$${a_n=\dfrac{1}{2}n(n-1)+1}$$をみたす。
$${\therefore a_n=\dfrac{1}{2}n(n-1)+1}$$

問１５：数列$${\{a_n\}}$$の初項と階差数列$${\{b_n\}}$$の一般項が次で与えられているとき、$${a_n}$$の一般項を求めよ。
(1) $${a_1=2, b_n=n^2}$$
(2) $${a_1=1, b_n=2^{n+1}}$$
(3) $${a_1=1, b_n=n+1}$$

問１６：数列$${\{a_n\}}$$の初項と階差数列$${\{b_n\}}$$の漸化式が次で与えられているとき、$${a_n}$$の一般項を求めよ。
(1) $${a_1=1, b_1=1, b_{n+1}=2b_n+1}$$
(2) $${a_1=1, b_1=3, b_{n+1}=3b_n-6}$$

問１７：次の漸化式を満たす数列の一般項を求めよ。
(1) $${a_1=1, a_{n+1}=a_n+2n+1}$$
(2) $${a_1=2, a_{n+1}=a_n+2^n}$$

以上