群論入門part0 演算の定義

※part0と言ってますがpart1が投稿される保証はありません。
※part0だからと言って簡単ではありませんが、途中で挫折したらそのまま次の記事をお読みください。

0.1.演算の定義

定義１
Xをある集合とし、A⊂Xとする。このとき、写像A×A→Xを演算という。特に、この写像をFとし Im(F)⊂A が成り立つとき、写像fはAで閉じた演算であるという。
※2021/08/19：間違いを修正しました（誤:Im(F)⊃A、正:Im(F)⊂A)

補足：上の定義１に出てきた言葉の意味
(1)A×A = {(a,b) | a,b∈A}
(2)Im(F) = F(A×A) = {c∈X |∃(a,b)∈A×A s.t. F(a,b)=c} = ( 写像Fの終域 ( 値域 ))

Rem
小学校で習う足し算、掛け算、引き算、割り算は実数上の演算である。

Rem
演算Fで、記号・を用いてF(a,b)=a・bと表されるとき、これを演算・ということがある。例えば足し算の場合は演算+と表すことが多い。

例１（ℝ上の足し算）
写像ℝ×ℝ→ℝ：(a,b)↦a+bは、ℝで閉じた演算である

例２（閉じていない演算）
写像ℕ×ℕ→ℝ：(a,b)↦1+a²÷bはℕ上の演算である。
しかし、(a,b)=(1,2)のとき1+1²÷2=1.5となるためℕで閉じた演算ではない。

例３
写像F：{0,1}×{0,1}→{0,1}を、a,b∈{0,1}に対して
a=b ⇒ F(a,b)=1, a≠b ⇒ F(a,b)=0
と定めると、写像Fは{0,1}で閉じた演算である。

0.2.演算の特徴づけ

定義２
（１）演算 F：A×A→A と任意の a, b, c ∈A に対して
F(F(a,b), c) = F(a, F(b,c))が成り立つことを、結合法則が成り立つという。
（２）演算 F：A×A→X と任意の a, b ∈A に対して、F(a, b) = F(b, a) が成り立つことを可換性という。また、F(a, b) = －F(b, a)（F(b, a)の逆元）が成り立つことを交代性という。

例４（結合法則、可換性、交代性をいずれも満たさない集合）
演算 G：ℕ×ℕ→ℕを、a, b∈ℕに対し G(a, b) = (aをbで割った余り) と定義するとこれはℕ上の演算である。しかしこれは明らかに結合法則、可換性、交代性をいずれも満たさない。（各自確かめよ）

例５（交代性を満たす演算）
実数上の引き算はℝで閉じた演算であるが、これは結合法則、可換性を満たさない。一方、交代性を満たしている。

例６（結合法則のみ成り立つ、関数同士の演算）
C¹(ℝ)を、C¹(ℝ) = {ｆ: ℝ→ℝ| ｆは一階微分可能でｆ'は連続}と定義する。
写像C¹(ℝ)×C¹(ℝ)→C¹(ℝ)：(f, g) ↦ ｆ◦ｇを、(ｆ◦ｇ)(x)=ｆ(g(x)) (∀x∈ℝ)と定める。（これは一般的に関数の合成と呼ばれる）
このとき、この写像はC¹(ℝ)で閉じた演算であり、結合法則が成り立つ。
しかし可換性、交代性はいずれも満たさない。（例えば、f(x)=x²、g(x)=sinxとすれば(f◦g)(x)=sin²x, (g◦f)(x)=sin(x²)となり、f◦g≠±g◦fが成り立つ）

以上

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