肩に乗る数字

何気なく使っている"数字の何乗"というもの，あれをもっと拡張できないかという話．物理の世界では指数の話がいっぱい出てくるのでここで話しておこう．

まずははじめとして二乗について，二乗とは同じものを二回かけたものを短縮して表すときに使う．

じゃあ"n"個同じものをかけたものを"n"乗と呼ぼう．

ここで"n"は2,3,4,...の正の整数だ．でも1と0は入っていない．では1と0乗は決められないのだろうか．"n"乗は"n"回同じものをかけたものだから，1乗は一回かけたものだろう．では0乗は0回かけたものだ．ここではこう決めておこう．

0乗を1とするのは数式に1を省略する文化があってそれを反映しているのだ．また，このときaは0ではないとする．0は何回かけても0だ．だけど0の0乗は数学的に無矛盾に定義できない．

物理屋さんは指数のことを"肩にのった数字"という左肩だけに乗ってかわいそうだと思う．

0と自然数の指数が決められた．ここでm乗とn乗の積を考えると

とできることがイメージできると思う．元の数の積が，指数の肩の足し算になるのだ．

足し算ができたら次は引き算を決めてみたくなる．aのn乗にかけて1になるようにaの-n乗を決める．

そうするとa^(-n)乗は分数になるのだ．

あとは四則演算で残っているのは掛け算と割り算だ．掛け算は簡単だ．aのn乗をm回かければ

こうなるはずだ．累乗の累乗は指数の掛け算になるのだ．

では割り算，割り算は

これはちょっとわかりにくい．n回同じものをかけてaに戻る数字なのだということだ．n=2の時を考えれば，二回かけてaになるのだから，これは簡単ルートだ．

まとめ

指数に四則演算を決めた．

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