お隣さんとの繋がり:一般相対論/接続

前回までの話で，重力の影響は時空の歪みとして捉えることができて，時空の歪みを取り入れるために時空の各点に計量(物差し):gを導入したのだった．

では想像してみよう．時空が歪みに歪んでいると，時空のある点Aとそのちょびっと隣の点A+δxで計量がきっと異なるだろう．

ここで厄介なことが起こる．ちょびっと隣の点は関数としての"gのちょびっと変化"と"時空の歪みのちょびっと変化"の二つが合わさったものになるのだ．

右辺かっこの一個目が関数としての変化，二個目が時空の歪みによる変化と思ってほしい．"∂_ρ"は第ρ成分(0,1,2,3~t,x,y,z)で微分しろと言うことで，添字が上下で和をとるのだった．

当たり前だが自分とちょびっと隣の計量が異なるのだ．ちょっと気取って書くとこうなる．

硬いかっこ[A,B]はABを入れ替えたものの差をとると言う"交換関係"と言うものだ．これからよく使うので知ってほしい．この交換関係でいえば，普通の微分と計量が交換しない(~0でない)のだ．

実はこれはやばい．何がやばいといえば特殊相対論の時のルールが使えなくなるのだ．そのルールは"添字の上げ下げは計量を使って行う"と言うことだ．

例えばxを微分したいときに，何個計量がかかっているかを考えなければならない．今は一個かかっているから...計量の微分と元の微分と...と考える．じゃあ計算が複雑になって

は...．F元々は添字が上下どっちで定義されていたとかわをとるときの計量の微分とかを一々考えなければならない．

これでは計算の面倒さが爆発してしまう．と言うかそもそも"誰が見ても物理法則が同じであれ"と言う出発点と合わない．なぜなら歪んでない時空だけ計算が簡単な特別な時空(~観測者)になっているからだ．

じゃ微分を変えましょうと言う狂気に至る．謎の"共変微分:∇"と言うものを次を満たすようにしておく

要は共変微分は，計量と交換する，微分になにかお釣り:Γ(ガンマ)がついたものだ．このお釣りΓを"接続"と呼ぶ．

次回は接続とは何ぞやと言う話．

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