写像について話す

こんにちは。今日は、写像について話したいと思います。

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とりあえずおさらい
集合Aから集合Bにたいする対応を考えた時に、それが
（a）Aのすべての要素に対して、その対応先が必ず一つ定まる。
を満たすとき、この対応は写像といいます。
さらに、写像が
（ｂ）Ａの違う要素の対応先は異なる。
を満たすときこの写像は単射である、といい、
（ｃ）Ｂのどの要素も、それを対応先としているＡの要素が存在する。
を満たすときこの写像は全射である。といいます。

写像が全射かつ単射、つまり、(a), (b), (c)をすべてみたす対応は、全単射な写像といわれます。

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これから、単射のこととか全射のこととかについて話しますが、その前に
いろいろな集合に関する記号を定義しておきます。記号はもう知ってるよって方は飛ばしてください

・写像ｆに対して、ｆがどの集合からどの集合への写像なのかを表すのに
　、ｆ：Ａ→Ｂ と書きます。　こう書く時、ｆはＡからＢへの写像にな　　　っています。
また、関数と同じように、写像ｆ：Ａ→Ｂ　の、Ａの要素のaの対応先を
ｆ(a)と書きます。

・集合ＰがＡの部分集合であるというのは、言葉通りＰがＡの一部分となっていることです。つまり、Ｐのすべての要素がＡの要素になっているようなＰがＡの部分集合です。AはAの部分集合であることに注意。
また、このとき$${P \subset A}$$と書きます。

・aがＡの要素である、というとき$${a \in A}$$と書きます。

・f:A →Bと、P⊂Aに対して、f(P)を、Pの要素の対応先になっているものをあつめた集合とします。f(P)の要素は必ずBの要素になっているので、
f(P) ⊂Bです。

・f:A →B が全単射な時、$${f^{-1} :B → A　で、f^{-1} (b)として、b \in B}$$ に対して、b＝f(a)となるaをとるものをfの逆写像といいます。

・集合$${A_1, A_2 \cdots }$$ に対して、これらのうち少なくとも一つの要素になっているものの集合を$${\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}}$$と書きます。
（A_n = {n} のとき、$${\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n} = \{1, 2, 3, 4 \cdots\}}$$)

・集合$${A_1, A_2 \cdots }$$ に対して、これらすべての集合の要素になっているようなものの集合を$${\displaystyle{\bigcap_{n=1}^\infty A_n}}$$と書きます。
（A_n = {0, n} のとき、$${\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n} = \{0\}}$$)

・集合A, Bに対して、Aに属していて、かつBの要素でないものの集合をA-Bと書きます。（R - Q =「無理数の集合」）
(A - B) - C = A - (B $${\cup}$$ C) となります 

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まず、(c)　Ｂのどの要素も、それを対応先としているＡの要素が存在する。
についてですが、これは上で定義したものを用いると、
f:A→Bが全射である（c)を満たす）とは、f(A) = B が成り立つこと。と言い換えられます。
上で行ったように、fはBへの写像だから、f(A)の要素がBに含まれるのは明らかですから、このf(A) = Bというものは、Bの要素がすべてf(A)に含まれている。という条件であるといえますね。f(A)というのは、何かのAの要素の対応先になっているものの集まりでしたから、この主張は、そのまま「Bのすべての要素は、あるAの要素の対応先になっている」と同じことを述べていますね。

もし、写像f:A→Bが単射である場合、fの行き先の集合（B）を、f(A)に制限する（書き換える）と、fは全単射とみなせる。（f:R→R、f(x) = $${e^x}$$は全射ではないが、f:R →(0, $${\infty), f(x) = e^x}$$は全単射）

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f:A→Bとする。　$${P_1, P_2 \cdots はすべてAの部分集合とする。}$$

この時、$${f( \displaystyle{\bigcup_{n=1}^\infty P_n})=\displaystyle{\bigcup_{n=1}^\infty f(P_n)}}$$が成り立つ。

fが単射ならば、次が成り立つ：
$${f( \displaystyle{\bigcap_{n=1}^\infty P_n})=\displaystyle{\bigcap_{n=1}^\infty f(P_n)}}$$

PをAの部分集合とする。
fが単射であるなら、f(A - P) = f(A) - f(P)が成り立つ。

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ただただ成り立つことを羅列してしまいましたが、これの次の濃度のお話で、ここで定義したやつをがっつり使わせてもらいますね。