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【高校数学】中学生から知っておきたい数学の基本を徹底解説しました。【苦手な人集まれ!】
こんにちは。とまねぎです。
今回の記事では、高校数学で
一番最初に学習する単元である
「数と式」について解説します。
その中でも超基本的な内容です。
ほとんどが中学校の復習です。
しかし、甘く見てはいけません。
いつの間にか
「数学が苦手だなあ」
と感じてしまう方は
こうした基本知識が
欠けているかもしれません。
平仮名が読めなかったら
絵本が読めないことと同じように
基礎知識を知らない状態で
数学の問題が解けるわけがありません。
今回の内容は中学校の復習が多いですが、
高校生がつまづく内容も含まれています。
この内容が分からないと
今後の数学の勉強が大変になるので
今のうちから基礎固めをしてください。
それでは、始めていきましょう。
今回の記事の目次は次の通りです。
1.基本用語
1-1.単項式と多項式
では基本的な用語の解説から始めます。
![](https://assets.st-note.com/img/1715775877781-UbEEjf3Cjc.png?width=800)
まずは単項式についてです。
「係数」と「次数」
という単語を紹介しました。
これらは区別しておきましょう。
係数は文字の前にいる数であり、
次数はかけ合わされている文字の個数です。
![](https://assets.st-note.com/img/1715779329708-0TIWxYfIm8.png?width=800)
多項式は、
いくつかの単項式を足して
作られる式のことです。
ここで疑問が生まれます。
多項式はたし算だけ??
あれ??ひき算は???
例には「-」を含む
多項式が書かれています。
何故説明には
「足して」
としか書いていないのでしょうか。
それは、「マイナス」
という符号を使うことで、
これまで考えていた
どんなひき算でも
すべて「たし算」で
表現できるからです。
私たちは中学校で負の数を学習しました。
その際
「ひき算を、たし算として考える」
ということを学んでいます。
下のような感じです。
![](https://assets.st-note.com/img/1716208189076-whlV8eOEqU.png?width=800)
「マイナス」という符号を使って
数を表現してあげることで、
どんなひき算でも
()と「+(たす)」という
2つの記号で式を表現することができます。
だから多項式の説明では
「足して」としか書いてないのですね。
「ひき算はたし算の仲間」というわけです。
ちなみに、数学には
()と「+(たす)」という記号を
省略する習慣があります。
この2つの記号を省略すると、
数と符号(プラスとマイナス)しか
残らない状況になります。
(+2)+(-5)+(-4) が
2-5-4と表現されるということです。
※一番先頭の「プラス」も省略します。
こうなると、
![](https://assets.st-note.com/img/1716208261077-0kUamJLXMQ.png)
単項式だけが並んでいる状態とも言えます。
多項式を分析するとき、
足し合わせている単項式のことを
単に「項」と呼びます。
このとき、各項は
数の前にある符号を含むことに注意です。
-4xや+3といった感じです。
![](https://assets.st-note.com/img/1715779241157-KztiIAwSvC.png?width=800)
各項の次数(文字の個数)によって、
「2次の項」や「1次の項」などと
呼び方が変わります。
特に、文字を含まない項のことを
定数項と呼ぶので注意です。
![](https://assets.st-note.com/img/1715779529318-wS0JAEl9pU.png?width=800)
単項式と多項式を合わせて
「整式」と呼びます。
この単語は数学Ⅱになると
見かけるようになると思いますが
現段階では登場回数が控えめです。
ちなみに、単項式は
「多項式の項が1つの式」
として考えることもできるので、
「単項式は多項式の一部」
と考えることもあります。
そうなると、
整式も多項式も全く同じもの
ということになりますね。
この辺りの話は
高校では厳密に説明しないので
「へー」
程度の認識で良いです。
1-2.多項式を見やすく整理するための知識
![](https://assets.st-note.com/img/1715850832601-CwVwpNgY8f.png?width=800)
同類項の計算は中学校でもやったので
多分大丈夫だと思います。
まとめるときは係数を計算しましょう。
1つの式に含まれる文字が少ないときは
同類項の計算は楽なのですが、
複数個の文字が登場すると、
少しややこしくなります。
これについては
「1-3」で紹介しますね。
![](https://assets.st-note.com/img/1715851906363-ocPfLOOwv2.png?width=800)
降べきの順は超基本です。
この並べ方が式を分析する上で
一番分かりやすいのです。
一方で、昇べきの順は
ほとんど見られません。
たまーーーに使いますが、
知らない高校生が多いです。
降べきの順であれ、昇べきの順であれ
最初は多項式中の各項の次数を確認して
丁寧に並べ替えましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1715852232536-nLcwwR2knf.png?width=800)
単項式にも次数が存在したように
多項式についても次数が存在します。
単項式は多項式の一部である。
そんな話をしましたよね。
だとしたら単項式にだって
次数がないとおかしいです。
各項を確認して
一番高い次数の値が
その多項式の「次数」となります。
![](https://assets.st-note.com/img/1715852716318-dJtEcaQWBN.png?width=800)
高校ではあまり紹介する事はありませんが、
こんなものも紹介しておきます。
多項式において、
各項どの項も同じ次数のとき、
その多項式を
「〇次の同次式」
と言います。
「何に使うのか」と聞かれると
私も困ってしまいますが、
一応、教養として紹介しますね。
1-3.着目する文字によって変化する次数と係数
1つの整式に含まれる文字の個数は
1つとは限りません。
当然、1つの式の中に
文字が複数個存在することもあります。
そのとき、私たちは
「ある文字に着目して式を分析する」
必要が出てきます。
この項目では単項式と多項式
それぞれにおいて
文字が複数個含まれている時
どのように式を見るべきなのか
お伝えできたらと思います。
![](https://assets.st-note.com/img/1715864768306-BJughBRLJO.png?width=800)
まずは単項式です。
(1)はどの文字にも着目しないパターンです。
今回はxとyどちらも登場していますが、
その2つとも文字として扱います。
なので次数は3、係数は7となります。
一方で、(2)では
「xに着目」と()内に書いてありますね。
これは
「この式はxを文字として扱って、
それ以外は全て数として扱ってね」
という意味です。
x以外は全て数。
つまりyも数ということです。
よって、(2)では
次数が2、係数が2yとなります。
xに着目するなら、
2xyよりも2yxの方が正しいです。
何故なら、xが文字で、
それ以外は数として扱うからです。
このときyも数ですから、
文字であるxの前に置くというわけです。
これはyに着目しても
全く同様に考えることができます。
![](https://assets.st-note.com/img/1715990526932-8BiAKklAFL.png?width=800)
さて、続いて多項式です。
こちらも(1)は
特に文字に着目する指定をしていません。
なので、降べきの順に並べるときも
シンプルに次数の高い項から
順番に並べればよいです。
同じ次数の項はどの順で
並べても良いです。
(1)の場合は
定数項が+3、次数が3となります。
![](https://assets.st-note.com/img/1715990508545-ly4A4kwy5F.png?width=800)
さて問題は
文字に着目したときです。
(2)ではxに着目しています。
基本的な考え方は同じです。
「xだけを文字として扱い、
その他は全て数として扱う」
なので、各項にxが何個いるのか
1つずつ確認して、
降べきの順に並べるとします。
降べきの順に並べることができたら
可能な範囲で同類項をまとめます。
今回(2)では
xが1次の項と2次の項が
1つしかありません。
一方でxが0次の項が
2つあります。
この2つの項は
文字であるxが存在しない項、
つまり「定数項」です。
定数項は定数項たち同士
分かりやすくまとめておきましょう。
そのために、2つの定数項を
()でまとめておきました。
()なんて無くても
定数項だと分かりやすいですが、
つけることで分かりやすく整理できます。
ちなみに、
(2)の次数は2となります。
![](https://assets.st-note.com/img/1715990556030-rkikIlMsaA.png?width=800)
(3)はaに着目する問題です。
着目する文字が変わると、
式の見え方は大きく変化します。
今回はaの1次の項が
合計で2個あります。
今回、これら2つの項は
同類項として扱います。
なので、同類項を()で
分かりやすくまとめましょう。
同類項の計算は
「係数部分のたし算」
で計算することができます。
同類項をまとめる際には
単に()でまとめるのではなくて、
文字(今回はa)でくくることで、
係数部分を計算しているような表現をしましょう。
定数項も分かりやすく
()でまとめておくと良いです。
今回、文字であるaの
最高次数は1なので、
多項式全体は
「aについての1次式」
となります。
2.式の計算
2-1.多項式の加法と減法
改めて、加法とはたし算
減法とはひき算のことです。
![](https://assets.st-note.com/img/1715991227310-E6eZ86BNCQ.png?width=800)
減法の場合は画像のように
「マイナス」を分配法則して
計算するやり方が一般的ですが
![](https://assets.st-note.com/img/1715991253791-dHzFrcsR7E.png?width=800)
ひっ算のように計算する方法も
分かりやすいので紹介しておきます。
具体的にもう1つ例を紹介します。
![](https://assets.st-note.com/img/1715991321110-CBOhthABrM.png?width=800)
ひっ算の形で計算するときは
同類項を縦に並べると良いです。
今回で言うと、画像のように
xの1次の項はスペースを空けましょう。
計算がグッと楽になります。
2-2.指数法則
こちらも中学校で学習する内容です。
実は数学Ⅱに入ると、
指数法則は面白くなってきます。
今回は計算法則を紹介しましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1715991702394-0L3WeEPEen.png?width=800)
まずは用語の説明を載せておきます。
注意しなければならないのは
「累乗」という単語ですね。
これは中学校では登場しないです。
累乗とは、「何かの〇乗」といった
指数を用いた表現をしている数を
まとめた呼び名です。
画像右下の図のイメージです。
画像の例で言うと、aのような
何回もかけている元となる数を
「底」と言います。
なので、累乗とは
「指数を使って表現された
底が等しい数たち」のことです。
![](https://assets.st-note.com/img/1715992433899-PoDTau3LkR.png?width=800)
では指数法則の説明に入ります。
上の画像にまとめた3つの法則を
順番に見ていきましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1715992636792-10sMUfTAkM.png?width=800)
まずはこちら。
よくある間違いを赤字で書きました。
指数で表現されているものは
「同じ数が何個かけられているか」
です。
その意味を冷静に考えると
きっとこの法則は
「当たり前じゃん」
と感じると思います。
![](https://assets.st-note.com/img/1715992772687-goHFwSYvkX.png?width=800)
一方で、1つ目に紹介した法則と
区別しておかなければならないものが
この2つ目の法則です。
ここで重要なことは
「()はまとまりを表す」
ということです。
この認識が甘いことが原因で
1つ目に紹介した法則との
区別がつかない生徒が多いです。
()に指数がついている時は
()の中身全体を何個もかけている
という認識を強く持ちましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1715992964746-CCuHw57BCy.png?width=800)
3つ目は間違える人は少ないです。
()の意味を理解していれば
そんなに難しくないと思います。
とにかく
先に紹介した1つ目と2つ目の法則を
正しく理解しておくことが大切です。
3.まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回はこれから数学を勉強するために必要な
超基本的な知識を紹介しました。
高校で新しく登場した内容は
「ある文字に着目して多項式を考える」
というものでしたね。
今後数学を勉強していく中で
1つの文字に着目して式を整えて、
計算を進めていくことが増えます。
次に投稿する記事にさっそく登場するので
「基礎知識だから」と甘く見ないで
しっかり理解を深めておきましょう。
それでは、本日はここまでとします。
お相手はとまねぎでした。
最後に本記事で使用したノートと
本記事を参考に作成した動画解説を
掲載しておきます。
動画についてはまだ作成の途中ですので、
完成次第URLを投稿します。
しばらくお待ちください(2024年5月18日現在)
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