おうぎ形をまるめてできる円錐状立体角を求める公式

立体角というのは立体の尖った角の尖り具合のことである。
我々は平面上の角度ならば表し方に慣れている。
弧度法というのは単位円(半径=1)を切り取っておうぎ形としたときの弧の長さをもって中心角としてその角度を表すものである。
もし弧の長さが2πならば中心角も2πであり、それは正円となる。弧の長さがπ/2ならば中心角は直角である。
そこでこれと同様に拡張して単位球(半径=1)において中心を通る円錐で切り取った時、球の表面に切り取られた部分球面の表面積をもって中心角に相当する立体角と考えるものである。
単位球の表面積は4πであるから球を切らなければ最大4πが立体角ということになる。

ではここで中心角θのおうぎ形をまるめて円錐を作るとする。
このとき真横から見た尖り部分の平面角(正射影)をαとする。
そしてその立体角をΩとするとこれらの間にはどういう関係が成り立つのだろうか？

これまでの私の導出では次の関係が成り立つ。

この二つの式から

αを消去すると

④式がおうぎ形をまるめてできる円錐状立体角を求める式

±の符号がついているがマイナスの符号をとったものが尖った方で、プラスの符号をとった場合にはその補角となる。