フェルマーの最終定理（n=4）

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（定理）

$$
\begin{array}{}
&{\bf x^4+y^4=z^4}&\\
&{\bf を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない}&\\
\end{array}
$$

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（証明）
まず初めに、$${x^4+y^4=z^4}$$を変形して

$$
\begin{align*}
(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2\\
\end{align*}
$$

とすれば、この式を満たす自然数の組$${(x^2,y^2,z^2)}$$が存在する。$${(x^2,y^2,z^2)}$$がピタゴラス数であることは明らかである。

参照）

https://note.com/terasnote/n/nc144f0409c4c

したがって、$${a＞b＞0}$$なる任意の自然数$${a,b}$$を用いて

$$
\begin{align*}
&x^2=2ab&\\
&y^2=a^2-b^2&\\
&z^2=a^2+b^2&\\
\end{align*}​
$$

と表すことができる。

さて、$${{\bf x,y,z}}$$がすべて自然数であるとするならば、$${x^2=2ab}$$であることから明らかに$${x^2}$$は偶数であって、したがって$${x}$$は偶数でなければならず、再帰的に$${x^2}$$は4の倍数でなければならないことになる。
一方で$${x^2=2ab}$$であるから、$${2ab}$$は４の倍数であって、結局、$${{\bf a,b}}$$の少なくともいずれか一方は偶数でなければならない。

以下（１）~（３）で$${a,b}$$の偶奇を場合分けして考える。

（１）$${{\bf a,b}}$$がともに偶数の場合

$$
\begin{align*}
&x^2=2ab&\\
&y^2=a^2-b^2&\\
&z^2=a^2+b^2&\\
\end{align*}​
$$

によって、$${x,y,z}$$はすべて4の倍数となるから、元の式を

$$
\begin{align*}
(\frac{x^2}{4})^2+(\frac{y^2}{4})^2=(\frac{z^2}{4})^2\\
\end{align*}
$$

と書くことができる。この式の両辺に16を乗じれば元の式と同じになるため$${ a,b}$$がともに偶数の場合というのはそうでない場合と完全には独立ではない。すなわち$${a,b}$$がともに偶数の場合に自然数の組$${(x,y,z)}$$が存在すれば、他の場合（少なくとも$${a,b}$$の一方が奇数の場合）に自然数の組$${(x,y,z)}$$が必ず存在するため、他の場合のすべてにおいて自然数の組$${(x,y,z)}$$が存在しなければ、$${a,b}$$がともに偶数の場合においても存在しないことが証明される。

（２）$${{\bf a}}$$が偶数で、$${{\bf b}}$$が奇数の場合

この場合は$${x^2,y^2,z^2}$$が原子ピタゴラス数である場合を含む。
$${a}$$が偶数で、$${b}$$が奇数である場合には

$$
\begin{align*}
&y^2=a^2-b^2&\\
&z^2=a^2+b^2&\\
\end{align*}​
$$

によって、$${y^2, z^2}$$はともに奇数でなければならず、従って

$$
\begin{align*}
&z^2-y^2=b^2
\end{align*}​
$$

によって、$${b^2}$$は偶数でなければならないのだが、このことは「$${a}$$が偶数で、$${b}$$が奇数である場合」という前提と矛盾するため、そのような自然数の組$${a,b}$$のいずれにおいても$${x^4+y^4=z^4}$$を満たす自然数の組$${x,y,z}$$を記述することはできない。

（３）$${{\bf a}}$$が奇数で、$${{\bf b}}$$が偶数の場合

この場合も$${x^2,y^2,z^2}$$が原子ピタゴラス数である場合を含む。
$${a}$$が奇数で、$${b}$$が偶数である場合にも

$$
\begin{align*}
&y^2=a^2-b^2&\\
&z^2=a^2+b^2&\\
\end{align*}​
$$

によって、$${y^2, z^2}$$はともに奇数でなければならず、

$$
\begin{align*}
&z^2+y^2=a^2
\end{align*}​
$$

によって、$${a^2}$$は偶数でなければならないのだが「$${a}$$が奇数で、$${b}$$が偶数である場合」という前提と矛盾するため、そのような自然数の組$${a,b}$$のいずれにおいても$${x^4+y^4=z^4}$$を満たす自然数の組$${x,y,z}$$を記述することはできない。

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以上のことから、

$$
\begin{align*}
(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2\\
\end{align*}
$$

を満たす自然数の組$${(x,y,z)}$$は存在しないことが証明された。

（証明おわり）